Question

如图,圆O是三角形ABC的外接圆,AB为直径,AC等于CF,CD垂直AB于D,且交圆O于G,AF交CD于E. 求证:AE等于CE

Answer 1

分析：（1）由于AB是直径，因此∠ACB应该是个直角．
（2）可根据等角对等边来求证．由于BA垂直平分CG，那么弧AC=弧AG，又已知了AC=CF，即弧AC=弧CF，因此弧CF=弧AG，即∠ACG=∠FAC，也就得出了AE=CE．
（3）本题实际求的是△AEC和△AFC相似，已知了一个公共角，又由（2）中得出的弧AC=弧CF=弧AG，那么∠F=∠ACE，因此两三角形就相似了．由此可得出所求的比例关系式．
解答：（1）解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°．
（2）证明：连接AG，∵AB为直径，且AB⊥CG，
∴AC=AG，
又∵AC=CF，
∴AG=CF，
∴∠ACG=∠CAF，
∴AE=CE．
（3）证明：连接CF，
由（2）可知：AG=AC，
∴∠ACE=∠AFC
又∵∠CAE=∠FAC，
∴△AEC∽△ACF，
∴ACAE=AFAC，
∴AC2=AE•AF．
点评：本题主要考查了垂径定理，圆周角定理以及相似三角形的判定和性质等知识点的综合运用．根据圆周角得出相关的角相等是本题的解题关键．
希望能帮到你O(∩_∩)O~

Answer 2

要证AE＝CE，就是要证明∠ACG＝∠CAF
而上面两个角都是圆周角，因此可考虑证明它们所对的弧AG与弧CF相等，再注意到题中有垂径定理，可得到弧相等，从而找到证明思路，证明如下：
∵AB是直径，CD⊥AB
∴弧AC＝弧AG
∵AC＝CF
∴弧AC＝弧CF
∴弧AG＝弧CF
∴∠ACG＝∠CAF
∴AE＝CE

Answer 3

证明：∵CA=CF
∴弧CA=CF
∴∠B=∠CAF
∵AB是直径
∴∠ACD+∠BCD=90°
∵CD⊥AB
∴∠BDC=90°
∴∠B+∠BCD=90°
∴∠CAF=∠ACD
∴AE=CE