Question

设函数f(x)=(sinθ/3)x^3+(√3cosθ)x^2+√3tanθ•x,其中θ属于[0，π

/6]，求f'(1)的取值范围。
f(x)=(sinθ/3)x^3+(√3cosθ)/2 x^2+√3tanθ•x,其中θ属于[0，π/6]，求f'(1)的取值范围。

Answer 1

(f(x)=(sinθ/3)x^3+(√3cosθ/2)x^2+tanθ,
f'(x))=3(sinθ/3)x^2+2(√3cosθ/2)x
=(sinθ)x^2+(√3cosθ)x
f'(1)=sinθ+√3cosθ=2sin(θ+π/3)
θ∈[0,5π/12],
θ+π/3∈[π/3,3π/4],
f'(1)=sinθ+√3cosθ=2sin(θ+π/3)∈[√2/2,1],
则导数f'(1)的取值范围[√2/2,1],

追问

导数求错了。 题目tanθ后面还有一个x。

追答

X导数为1 不用写出

追问

但是它前面有系数，开始我题目打错了一点，现在重新补充了问题，再帮忙做一下吧，谢谢

追答

那就在后面加上√3tanθ 然后把tanθ 写成sinθ/cosθ 然后化简 照着我那个做就成

追问

我就是化简有问题咯，拜托了啦。。。

Answer 2

f'(x)=sinθ*x^2+2√3cosθx+√3tanθ
当x=1时，f'(1）=sinθ+2√3cosθ+√3tanθ
对sinθ+2√3cosθ+√3tanθ求导得cosθ-2√3sinθ+√3/cosθ^2
在[0，π/6]上cosθ-2√3sinθ+√3/cosθ^2>0
所以f‘（0）=2√3最小，f（π/6）=7/2+√3/3
所以f'(1)的取值范围是[2√3,7/2+√3/3]

Answer 3

求导，然后根据变量函数的定义域求值域范围