Question

设F1、F2分别是椭圆C：x²/a²＋y²/b²=1（a＞b＞0）的左右焦点。

设F1、F2分别是椭圆C：x²/a²＋y²/b²=1（a＞b＞0）的左右焦点。
（1）设椭圆C上点（根号3，根号3/2）到两点F1、F2 距离和等于4，写出椭圆C的方
程和焦点坐标
(2)设点K是（1）中所得椭圆上的动点，求线段F1K的中点的轨迹方程
(3)设点P是椭圆C上的任意一点，过原点的直线L与椭圆相交于M，N两点，当直线PM，PN的斜率都存在，并记为kPM,kPN, 试探究kPM与kPN的乘积的值是否与点P及直线L有关，请证明
（关键是第三问，请高手详细解答）

Answer 1

（1）
∵点（√3，√3/2）到两点F1、F2 距离和等于4
∴2a=4,a=2
将点（√3，√3/2）代入椭圆C：x²/4＋y²/b²=1
得3/4+3/(4b²)=1,b²=3
∴椭圆C的方程为x²/4＋y²/3=1
c=√(a²-b²)=1 焦点坐标F1(-1,0),F2(1,0)
(2)
设K(x',y'),FK中点E(x,y)则
2x=x'+1,2y=y'
∴x'=2x-1,y'=2y
∵K(x',y')在椭圆上，∴x‘²/4＋y’²/3=1
∴FK中点E的轨迹方程为（2x-1)²/4+4y²/3=1
（3）
直线L过原点，则M,N关于原点对称
设M(s,t),则N(-s,-t),P(x0,y0)为椭圆上任意一点
∴x²0/4+y²0/3=1
s²/4+t²/3=1
相减：
（x²0-s²)/4+(y²0-t²)/3=0
根据平方差公式
(x0+s)(x0-s)/4+(y0+t)(y0-y)/3=0
两边同时除以(x0+s)(x0-s),整理：
∴(y0+t)/(x0+s)*(y0-t)/(x0-s)=-3/4
即kPN*kPM=-3/4
∴ kPM与kPN的乘积的值与点P及
直线L无关，为定值-3/4

Answer 2

∵点（√3，√3/2）到两点F1、F2 距离和等于4
∴2a=4,a=2
将点（√3，√3/2）代入椭圆C：x²/4＋y²/b²=1
得3/4+3/(4b²)=1,b²=3
∴椭圆C的方程为x²/4＋y²/3=1
c=√(a²-b²)=1 焦点坐标F1(-1,0),F2(1,0)
(2)
设K(x',y'),FK中点E(x,y)则
2x=x'+1,2y=y
∴x'=2x-1,y'=2y
∵K(x',y')在椭圆上，∴x‘²/4＋y’²/3=1
∴FK中点E的轨迹方程为（2x-1)²/4+4y²/3=1
（3）
直线L过原点，则M,N关于原点对称
设M(s,t),则N(-s,-t),P(x0,y0)为椭圆上任意一点
∴x²0/4+y²0/3=1
s²/4+t²/3=1
相减：
（x²0-s²)/4+(y²0-t²)/3=0
(x0+s)(x0-s)/4+(y0+t)(y0-y)/3=0
两边同时除以(x0+s)(x0-s),整理：
∴(y0+t)/(x0+s)*(y0-t)/(x0-s)=-3/4
即kPN*kPM=-3/4
∴ kPM与kPN的乘积的值与点P及
直线L无关，为定值-3/4