Question

问个概率问题

XY独立，且该路密度是
fx(X)=(1/2)*e^(-x/2) x>0 【其余是0】

fy(Y)=(1/3)*e^(-y/3) y>0 【其余是0】
求Z=X+Y的概率密度

Answer 1

由于X、Y相互独立，所以二维随机变量(X，Y)的联合概率密度为f(x，y)=fx(x)fy(y)=(1/6)*e^(-x/2-y/3)(x＞0，y＞0)；Z=X+Y的分布函数为：F(z)=P｛Z≦z｝=P｛Z≦x+y｝=∫(x=0→z)∫(y=0→z-x)f(x，y)dxdy=1+2e^(-z/2)-3e^(-z/3)①(z＞0)；Z的概率密度为fz(z)=dF(z)/dz，即fz(z)=e^(-z/3)-e^(-z/2)(z＞0)【其余为0】。

Answer 2

解：f(x,y)=1/6*e^(-x/2-y/3),x>0,y>0
Z=X+Y
卷积定理
fz(z)=∫(0,z)f(x,z-x)dx=e^(-z/3)-e^(-z/2),z>0,其他为0
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追问

我就想说卷积出BUG了。。。可能对这块了解有问题，你帮忙解释下为啥上限是Z而不是+无穷，我就放分给你，顺带着多+50分。。。谢谢

追答

因为
Z=X+Y
X=Z-Y
其中Y>0
因此X=Z-Y<Z