Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，ABCD为正方形，PA=AB=4，G为PD的中点,

E点在AB上，平面PEC⊥平面PDC。（1）求证；AG⊥平面PCD（2）求证；AG∥平面PEC（3）求G点到平面PEC的距离

Answer 1

取坐标系A﹙0,0,0﹚,B﹙4,0,0﹚ D﹙0,4,0﹚,P﹙0,0,4﹚G﹙0,2,2﹚
设E﹙a.0,0﹚ 平面PEC法向量n1＝﹛4,a-4,a﹜,平面PDC法向量n2＝﹛0,1,1﹜
∵平面PEC⊥平面PDC ∴n1•n2＝a-4+a＝0 a＝2 E是AB的中点。
⑴ AG＝﹛0,2,2﹜ n2＝﹛0,1,1﹜ AG∥n2 ∴AG⊥平面PCD
⑵ n1＝﹛4,-2,2﹚ AG•n1＝-4+4＝0 AG⊥n1 ∴AG∥平面PEC
⑶ 平面PEC的法式方程：﹙2x-y+z-4﹚/√6＝0
G﹙0,2,2﹚到平面PEC的距离＝|2×0-2+2-4|/√6＝2√6/3

Answer 2

1.∵PA⊥平面ABCD
∴平面PAD⊥平面ABCD
∵平面PAD∩平面ABCD=AD，CD⊥AD
∴CD⊥平面PAD
∵AG∈平面PAD
∴CD⊥AG
∵AD=AB=PA，G是PD中点
∴AG⊥PD
又CD∩PD=平面PCD
∴AG⊥平面PCD
2.∵AG⊥平面PCD(已证)
平面PEC⊥平面PCD
又AG∉平面PEC
∴AG∥平面PEC
3.作GF⊥PC于F
∵平面PCD∩平面PEC=PC
∴GF⊥平面PEC
∴GF就是G到平面PEC的距离
△PGF∽△PCD
PD=4√2，CD=4
∴PC=4√3
PG=2√2
GF:CD=PG:PC
∴GF=2√6/3