Question

已知a^2+b^2=1，求ab的极值

不要用三角函数的恒等变换，要代数或者是几何的方法

Answer 1

　　a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=1
　　∴1+2ab=(a+b)^2>或=0
　　 ∴当(a+b)^2=o时 ab最小
　　 所以ab最小值为1/2
　　 没有最大值

Answer 2

∵ (a-b)²=a²+b²-2ab≥0 当a=b时取等号
a²+b²≥2ab 当a=b时取等号
∴ ab≤(a²+b²)/2=1/2 当a=b=1/2 时取等号

ab的极大值是1/2

Answer 3

a=(1-b^2)^(1/2),
所以ab=f(b)=b*(1-b^2)^(1/2),
求ab的极值就是求函数f(b)的极值。
对f(b)求导,然后看导数为0的点(b=2^(1/2)/2)和边界点(b=0,b=1)的f(b)的值。
得到ab的最大值为1/2，最小值为0。

Answer 4

ab=t
a=t/b
(t/b)^2+b^2=1
t^2/b^2+b^2=1
t^2+b^4=b^2
(b^2)^2-b^2+t^2=0
把它看成b^2的二次方程：要使其有解，deta>=0
deta=(-1)^2-4t^2>=0 t^2<=1/4 -1/2<=t<=1/2
即：abmax=1/2 abmin=-1/2