Question

已知函数f（x）=(1/(2^x-1) )+a是奇函数 判断f（x）的单调性并给出证明

已知函数f（x）=(1/(2^x-1) )+a是奇函数 判断f（x）的单调性并给出证明
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Answer 1

分析：要证明单调性，定义域为x不=二分之一，选两点，带入f(x)，函数值作差 >0 为增，反之 为减；
f(x)为减函数；
证明： 因为f(x)奇函数,f(-x)=-f(x);设函数f(x)在实数范围内的两点分别为x1,x2，且x2>x1>1;
则x1-x2<0
把x1,x2带入f(x)，作差，
即f(x2)-f(x1)<0 所以f(x)是减函数。

Answer 2

解：函数f（x）的定义域为｛x｜x≠0｝,因为函数f(x)是奇函数，所以有f(-1)=-f(1),带入求得a=1/2.
所以函数f（x）=(1/(2^x-1) )+1/2.
以下证明单调性，因为2^x-1是增函数，取倒数之后的函数1/(2^x-1) 就为减函数了。加上常数1/2之后还是减函数，所以函数f（x）=(1/(2^x-1) )+1/2在其定义域｛x｜x≠0｝内是减函数。证毕。