Question

求解一道积分题目，∫∫(X+Y)³dxdy, 积分区域D是由X=√(1+y²)与X+√2*y=0和X-√2*y=0围成

积分区域关于X轴是对称的。应该要用被积函数部分有关y的奇偶性来解，可是我在花间的时候老是没化简到答案，求给个详细的步骤，谢谢！

Answer 1

虽然积分区域是关于x轴对称的。但是被积函数(x + y)³却不是对称的。所以不能用对称性解吧~~
假设有两个四面体，虽然它们的底都是同样的三角形，但是它们的高不一样，所以体积也未必一样。
所以∫∫_(D) (x + y)³ dxdy
= ∫(- 1→0)∫(- √2y→√(1 + y²)) (x + y)³ dxdy + ∫(0→1)∫(√2y→√(1 + y²)) (x + y)³ dxdy
= A + B
A = ∫(- 1→0)∫(- √2y→√(1 + y²)) (x + y)³ dxdy = ∫(- 1→0) C dy
C = ∫(- √2y→√(1 + y²)) (x + y)³ dx = (1/4){[√(1 + y²) + y]⁴ - (y - √2y)⁴}
A = ∫(- 1→0) (1/4){[√(1 + y²) + y]⁴ - (- √2y + y)⁴} dy = 8/15 - √2/3
B = ∫(0→1)∫(√2y→√(1 + y²)) (x + y)³ dxdy = ∫(0→1) D dy
D = ∫(√2y→√(1 + y²)) (x + y)³ dx = (1/4){[y + √(1 + y²)]⁴ - (√2y + y)⁴}
B = ∫(0→1) (1/4){[y + √(1 + y²)]⁴ - (√2y + y)⁴} dy = 2/5 + √2/3
所以A + B = (8/15 - 2√3) + (2/5 + √2/3) = (8 + 6)/15 = 14/15
从上面可见A ≠ B的，看你还能怎么个对称法- -。
C和D的解法长得很。只写下答案算了。

用极坐标也可以。
令{x = rcosθ、{y = rsinθ
则x = √(1 + y²) → rcosθ = √(1 + r²sin²θ)
→ r²cos²θ = 1 + r²sin²θ
→ r²cos²θ - r²sin²θ = 1
→ r²cos2θ = 1
→ r = √(sec2θ)
x = - √2y → y = (- 1/√2)x → 夹角tanθ = - 1/√2、θ在第四象限、sinθ = - 1/√3、cosθ = √2/√3
x = √2y → y = (1/√2)x → 夹角tanθ = 1/√2、θ在第一象限、sinθ = 1/√3、cosθ = √2/√3
(x + y)³ = (rcosθ + rsinθ)³ = r³(cosθ + sinθ)³ = r³[√2sin(θ + π/4)]³ = 2√2r³sin³(θ + π/4)
所以∫∫_(D) (x + y)³ dxdy
= ∫(- 1→0)∫(- √2y→√(1 + y²)) (x + y)³ dxdy + ∫(0→1)∫(√2y→√(1 + y²)) (x + y)³ dxdy
= ∫(- arctan(- 1/√2)→0)∫(0→√(sec2θ)) 2√2r³sin³(θ + π/4) rdrdθ
+ ∫(0→arctan(1/√2))∫(0→√(sec2θ) 2√2r³sin³(θ + π/4) rdrdθ
这个算式也算难解了，解得头痛，你有兴趣就试试吧~~

Answer 2

积分区域为半径=1的扇形，角度从-α到α。tanα=1/√2
(x+y)³=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3
由对称性：∫∫(3x^2y+y^3)dxdy=0, ∫∫(X+Y)³dxdy=∫∫(x^3+3xy^2)dxdy,用极坐标：
=∫(-α,α)dθ∫(0,1)(r^3(cosθ)^3+3r^3cosθ(sinθ)^2)rdr
=∫(-α,α)((cosθ)^3+3cosθ(sinθ)^2)dθ∫(0,1)r^4dr
=(2/5)(∫(0,α)((1-(sinθ)^2+3(sinθ)^2)dsinθ
=(2/5)[sinθ+(2/3)(sinθ)^2]|(0,α)
=(2/5)[1/√3+(2/9)) (sinα=1/√3)

追问

不对哦，是14/15, 这题是2010年考研数三的题目