Question

已知抛物线C：X²=4Y，若过M（-1，0）的直线L与抛物线C交与E,F两点，

又过E,F作抛物线的切线L₁,L₂当L₁⊥L₂时，求直线L的方程

Answer 1

过M（-1，0）的直线L：y = ax + a
与X²=4Y相交，得交点方程：X² = 4ax + 4a，即 ：X² = 4ax + 4a ，
X² -4ax - 4a = 0 ，要有两个交点：16a^2 + 16a >0 即：a>0 或 a<-1

抛物线C：X²=4Y，导函数：y‘ = x/2
垂直，即 y1’ * y2‘ = -1，即 x1* x2 = -4

又 X² -4ax - 4a = 0 韦达定理： x1* x2 = -4a

得到 -4a = -4
a = 1，满足条件 a>0 或 a<-1
即：直线方程为 y = x +1

Answer 2

x^2=4y，则y=x^2/4。
设a(x1,x1^2/4)、b(x2,x2^2/4)、l的方程为y=kx+1。
联立抛物线与直线l方程得：x^2-4kx-4=0，x1+x2=4k、x1x2=-4。
y'=x/2，l1方程为y-x1^2/4=(x1/2)(x-x1)=x1x/2-x1^2/2，即y=x1x/2-x1^2/4。
同理，l2方程为y=x1x/2-x2^2/4。
联立l1、l2方程：x1x/2-x1^2/4=x2x/2-x2^2/4，(x1/2-x2/2)x=(x1-x2)(x1+x2)/4，即x=(x1+x2)/2。
y=x1x/2-x1^2/4=x1(x1+x2)/4-x1^2/4=x1x2/4=-1，定值。