已知抛物线C:X²=4Y,若过M(-1,0)的直线L与抛物线C交与E,F两点,
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过M(-1,0)的直线L:y = ax + a
与X²=4Y相交,得交点方程:X² = 4ax + 4a,即 :X² = 4ax + 4a ,
X² -4ax - 4a = 0 ,要有两个交点:16a^2 + 16a >0 即:a>0 或 a<-1
抛物线C:X²=4Y,导函数:y‘ = x/2
垂直,即 y1’ * y2‘ = -1,即 x1* x2 = -4
又 X² -4ax - 4a = 0 韦达定理: x1* x2 = -4a
得到 -4a = -4
a = 1,满足条件 a>0 或 a<-1
即:直线方程为 y = x +1
与X²=4Y相交,得交点方程:X² = 4ax + 4a,即 :X² = 4ax + 4a ,
X² -4ax - 4a = 0 ,要有两个交点:16a^2 + 16a >0 即:a>0 或 a<-1
抛物线C:X²=4Y,导函数:y‘ = x/2
垂直,即 y1’ * y2‘ = -1,即 x1* x2 = -4
又 X² -4ax - 4a = 0 韦达定理: x1* x2 = -4a
得到 -4a = -4
a = 1,满足条件 a>0 或 a<-1
即:直线方程为 y = x +1
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x^2=4y,则y=x^2/4。
设a(x1,x1^2/4)、b(x2,x2^2/4)、l的方程为y=kx+1。
联立抛物线与直线l方程得:x^2-4kx-4=0,x1+x2=4k、x1x2=-4。
y'=x/2,l1方程为y-x1^2/4=(x1/2)(x-x1)=x1x/2-x1^2/2,即y=x1x/2-x1^2/4。
同理,l2方程为y=x1x/2-x2^2/4。
联立l1、l2方程:x1x/2-x1^2/4=x2x/2-x2^2/4,(x1/2-x2/2)x=(x1-x2)(x1+x2)/4,即x=(x1+x2)/2。
y=x1x/2-x1^2/4=x1(x1+x2)/4-x1^2/4=x1x2/4=-1,定值。
设a(x1,x1^2/4)、b(x2,x2^2/4)、l的方程为y=kx+1。
联立抛物线与直线l方程得:x^2-4kx-4=0,x1+x2=4k、x1x2=-4。
y'=x/2,l1方程为y-x1^2/4=(x1/2)(x-x1)=x1x/2-x1^2/2,即y=x1x/2-x1^2/4。
同理,l2方程为y=x1x/2-x2^2/4。
联立l1、l2方程:x1x/2-x1^2/4=x2x/2-x2^2/4,(x1/2-x2/2)x=(x1-x2)(x1+x2)/4,即x=(x1+x2)/2。
y=x1x/2-x1^2/4=x1(x1+x2)/4-x1^2/4=x1x2/4=-1,定值。
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