Question

已知函数f(x)=[ln(1+x)]/(ax)，其中a>0

（1）求f(x)的单调区间
（2）是否存在实数a使f(x)=<1在x∈R*上恒成立？若存在求出a的取值范围；若不存在说明理由

Answer 1

1. 对函数求微分，得(x-ln(1+x)-xln(1+x))/(ax^2(1+x))，x-ln(1+x)-x * ln(1+x)对所有x>-1都是小于零的。

这是因为函数的二阶导是-ln(1+x)，所以导数先增后减，其在0点是最大值0。因此可得导数在全定义域单调递减。

2. 第二题就是求ln(1+x)/(ax)在趋于0的时候等于1即可。此时a=1

追问

谢谢你哦 额第一问可以解释详细一点吗？为什么会 微分？？ （我高三，是我没学到还是忘了。。。

追答

微分就是求导。我不太记得高中学习了相关的内容的没有。

导数的正负号就是代表了函数本身的递增递减。相类似的，二阶导数也就是导数的增减性。

首先你可以求得一阶导数在零点的值f'(0)为0。然后求得二阶导在x小于零时候是正的，而在x大于零的时候是负数的。换句话说，函数的一阶导数在x小于零时是递增的，大于零时是递减的，又因为在x为零时是0。所以可得导数在全定义域都是小于零的。所以全定义域都是递减的。

这是二阶导的图像

这是一阶导的分子x-ln(1+x)-x * ln(1+x)的图像