Question

实数x,y,z满足x^2+y^2+z^2=1,则xy+yz的最大值为

实数x,y,z满足x^2+y^2+z^2=1,则xy+yz的最大值为
不用特殊值

Answer 1

由题意，三个字母的绝对值都必须不大于1.所以，我们可以（常常如此）设：
x＝cosα, y＝sinαcosβ, z＝sinαsinβ,(这样恰好满足题意）。此处α，β都是实数。
则xy+yz＝y(x+z)＝sinαcosβ*(cosα＋sinαsinβ)
∵cosα＋sinα sinβ＝√ (1+sinβ) * sin(α+φ) ,φ为辅助角。sin (α+φ)≦1,取得最大值时，sinα已为定值。
∴ cosα＋sinα sinβ≦√ (1+sinβ) ,
则xy+yz＝y(x+z)＝sinαcosβ*(cosα＋sinαsinβ)≦sinαcosβ*√(1+sinβ)
∴(xy+yz)²≦sin²α cos²β (1+sinβ) ＝sin²α *（cos²β＋ cos²β sinβ）未完。
采用这种三角代换，计算起来稍微麻烦一些。我们可以用基本不等式来处理试试。
有个证明过程很简单的 结论：（不用 xyz,改用abc。）
若a²＋b²＋c²＝1,则－½≦ab＋bc＋ca≦1.当且只当|a|=|b|=|c|时取等号。因为是求最大值，所以，不失一般性，可以设a,b,c皆为正数。所以，a=b=c,有最大值。此时，a=b=c=√(1/3).
答：ab+bc≦2/3.

Answer 2

0
x²+y²+z²=1,(任何数的平方都是非负的)有三种情况：
1、x²=0，y²=0, z²=1 则x=0 y=0 z=+/-1 xy+yz=0
2、 x²=0 y²=1 z²=0则x=0 y=+/-1 z=0 xy+yz=0
3、x²=1 y²=0 z²=0 则x=+/-1 y=0 z=0 xy=yz=0
所以xy+yz最大值为0

Answer 3

用三角函数赋值
设x=sinθ×cosα
z=cosθ×cosα
y=sinα
xy+yz=y(X+y)=sinαcosα(sinθ+cosθ)<=1/2*√2＝√2／2

Answer 4

这道题应该是求(2^1/2)xy+yz的最大值
√2 xy<=(1/2)(√3)x^2 + 1/(√3)*y^2,
yz<=(1/2)[1/(√3)*y^2 + √3*z^2],
相加得：√2 xy+yz<=(1/2)(√3)x^2 + 1/(√3)*y^2 + (1/2)[1/(√3)*y^2 + √3*z^2]
=(1/2)√3*(x^2 + y^2 + z^2)=(1/2)√3.

Answer 5

好像很难的哦