Question

老师，线性代数问题

老师，为什么非齐次任意两个解的差是对应齐次方程组的解？还有矩阵AB=0为什么能推出r（A）+r（B）小于等于n？

Answer 1

（1）设α, β 都是Ax=b 的解，则有Aα =b，A β＝b。
于是A(α- β)=Aα-Aβ=b-b=0, 于是α- β是Ax=0的解。
（2）若AB=0，则B的每一列都是Ax=0的解，所以B的秩R(B)，即B的列秩不超过n-R(A),其中R(A) 是A的秩，于是R(A)+R(B)不超过n.

若对你有用，就采纳了吧。对这个问题，若还有不明白的，可以再问。

追问

第2个还是不大明白

追答

设B的各列分别为B1,B2,...,BS, 则A(B1,B2,...,BS)=AB=0, 于是AB1=0,AB2=0,...,ABs=0. 这说明B的每一列都是Ax=0的解。设A的秩为r, 则Ax=0的基础解系含有n-r个线性无关的解向量，于是B1,B2,...,Bs可用上述n-r个线性无关的解向量线性表示，于是
r(B)=r(B1,B2,...,Bs)≤ n -r,
所以r(A)+r(B)≤ r+n-r=n.

一般教材中都有如下两个结论：
1. 如果向量组1可由向量组2线性表示，则向量组1的秩≤向量组2的秩。
2. 一个矩阵的秩等于其行秩等于其列秩. 即三个秩是相等的.

这样, 不知你是否明白了?