Question

已知f(x)是定义在R上的函数,对任意x∈R均有f(x+1)=-f(x),f(1-x)=f(1+x)

已知f(x)是定义在R上的函数,对任意x∈R均有f(x+1)=-f(x),f(1-x)=f(1+x),且当x∈[0,2）时，f（x）=2x-x^2
（1）求证f（x）为周期函数
（2）求证f（x）为偶函数
（3）f（x）的解析式

Answer 1

(1)证明：f(x+2)=f[(x+1)+1]=-f(x+1)=-(-f(x))=f(x), 所以周期=2

(2)证明：f(-x)=f(2-x)(因为T=2)

=f[1-(-1+x)

=f[1+(-1+x)]

=f(x) 所以是偶函数

(3)f(x)=-f[x-(2k+1)]^2+1, 当x属于[2k,2k+2）时

Answer 2

（1）对任意x∈R均有f(x+1)=-f(x),
∴f(x+2)=-f(x+1)=f(x),
∴f(x)是以2为周期的函数。
（2）f(1-x)=f(1+x),
以x+1代x,得f(-x)=f(x+2)=f(x),
∴f（x）为偶函数.
（3）当x∈[0,2）时，f（x）=2x-x^2 ，
∴当x∈[2k,2k+2),k∈Z时x-2k∈[0,2),
f(x)=f(x-2k)=2(x-2k)-(x-2k)^2.

Answer 3

（1）证明：f(x+1)=-f(x)，那么f(x+1+1)=-f(x+1)=f(x)
所以f(x+2)=f(x)，所以f(x)是最小正周期为2的周期函数
（2）f(-x)=f(-x-1+1)=-f(-x-1)=-f(-x-1+2)（f(x)是最小正周期为2的周期函数）
f(-x)=-f(-x+1)=-f(1+x)=f(x) [f(x+1)=-f(x)]

所以f(x)是周期函数
（3）f(x)=2(x-2k)-(x-2k)^2 ， （k=[x/2]），“[]”是取整数部分的意思
望采纳

Answer 4

f(x+2)=-f(x+1)=f(x)
∴f（x)是周期为2的周期函数