Question

已知F1,F2是双曲线C：x^2-y^2=1的左右焦点，点P在C上，∠F1PF2=60°，则|PF1|*|PF2|是多少？

Answer 1

设|PF1|=m,|PF2|=n,m>n,
a=1,b=1,c=√2，
根据双曲线定义，
m-n=2a,
两边平方，
m^2+n^2-2mn=4,(1)
在△PF1F2中，根据余弦定理，（也可用向量解）
F1F2^2=PF1^2+PF2^2-2|PF1|*|PF2|cos60°。
4c^2=m^2+n^2-2mn*(1/2),
4c^2=m^2+n^2-mn,
m^2+n^2-mn=8,(2)
(2)式-（1）式，
mn=4,
∴|PF1|*|PF2|=4。

Answer 2

焦点F1(-√2,0)，F2(√2,0)，F1F2=2√2。设|PF1|>|PF2|，在PF1上截取PQ=PF2，因为∠F1PF2=60°，所以三角形PQF2是等边三角形。
过F2做PF1垂线，垂足M，设MQ=x，则F2M=√3x
根据双曲线定义PF1-PF2=2，因为PQ=PF2，所以F1Q=2
在直角三角形F1MF2中，F1F2=2√2，F2M=√3x，F1M=（2+x）
解三角形F1MF2得
（√3x）^2+（2+x）^2=(2√2)^2
x=(√5-1)/2
则PF1=F1Q+QP=2+2*（√5-1）/2=√5+1
PF2=2*（√5-1）/2=√5-1
|PF1|*|PF2|=（√5+1）*（√5-1）=4

Answer 3

△F1PF2是双曲线焦点三角形。
∴根据正弦定理：S△=1/2*|PF1|*|PF2|*sin60°=b²*cot（60°/2）
解得|PF1|*|PF2|=4