Question

求曲线x^2+（y-b）^2=a^2绕x轴旋转所产生的旋转体的体积

Answer 1

设旋转体的体积为V,根据圆x^2+（y-b）^2=a^2的对称性,只要考虑半圆的旋转体,然后乘以2即可.所以根据旋转体的体积公式,有
V=2π\int_0^a[(b+根号下(a^2-x_2))-(b-根号下(a^2-x_2))]^2dx=16πa^3/3.

注释: \int_0^a 是指从0到a的定积分. 希望你能看懂我写的积分表达式.

追问

答案是2派的平方ab。。。。

追答

好像是算的不对,体积公式应该是这样的:
V=2π\int_0^a[(b+根号下(a^2-x_2))^2-(b-根号下(a^2-x_2))^2]dx=2π^2a^2b.

追问

不好意思我还想问一下体积为什么那样表示。。

追答

因为物体是旋转体,所以横截面一般来说是圆形,但此题中旋转体的横截面应该是圆环形,应用定积分的分析方法,即先计算一小块的体积微元,也就是横截面的面积(也就是圆环的面积,为π[(b+根号下(a^2-x_2))^2-(b-根号下(a^2-x_2))^2],因为圆的面积为:π乘以半径的平方)再乘以dx(即小横截面的厚度),这样就是截得的一小块物体的体积了,最后再作定积分就ok了.还有乘以2.

Answer 2