Question

如图，在三角形ABC中，已知角ACB=90度，点D在AB上，点E在BC上，AC=AD，DE垂直于CD，求证：角A=2角BCD， 若

AC=CE，求证：CD=2DE

Answer 1

证明：
1、过点A作AF⊥CD交BC于F，交CD于O
∵AC＝AD，AF⊥CD
∴∠CAF＝∠BAF＝∠BAC/2，CD＝2CO （三线合一），∠AFC+∠BCD＝90
∵∠ACB＝90
∴∠CAF+∠AFC＝90
∴∠CAF＝∠BCD
∴∠BAC/2＝∠BCD
∴∠BAC＝2∠BCD
2、
∵DE⊥CD
∴∠CDE＝∠ACB
∵∠BCD＝∠CAF，AC＝CE
∴△ACO≌△CED （AAS）
∴CO＝DE
∵CD＝2CO
∴CD＝2DE

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Answer 2

1、∵AC=AD
∴∠ACD=∠ADC
∴∠A=180°-∠ACD-∠ADC=180°-2∠ACD
∵∠ACD+∠BCD=∠ACB=90°
∴∠ACD=90°-∠BCD
∴∠A=180°-2×（90°-∠BCD）=2∠BCD
2、∵CD⊥DE，AC=CE
∴将Rt△CDE绕C旋转到CE和AC重合，得Rt△CFA≌Rt△CDE做DH⊥FA交FA的延长线于H即∠H=90°
∴∠FCA=∠DCE，∠F=∠CDE=90° ，AF=DE
∴∠FCD=∠ACD+∠DCA=∠ACD+∠DCE=∠ACB=90°
∴FCDH是矩形
∴CF=DH，FH=CD
∵AC=AD
∴∠ACD=∠ADC
∵∠FCD=∠HDC=90°
∴∠FCA=∠HDA
∴△FCA≌△HDA(SAS)
∴AF=AH=1/2FH
∴DE=1/2FH=1/2CD
即CD=2DE