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如图,在三角形ABC中,已知角ACB=90度,点D在AB上,点E在BC上,AC=AD,DE垂直于CD,求证:角A=2角BCD, 若
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证明:
1、过点A作AF⊥CD交BC于F,交CD于O
∵AC=AD,AF⊥CD
∴∠CAF=∠BAF=∠BAC/2,CD=2CO (三线合一),∠AFC+∠BCD=90
∵∠ACB=90
∴∠CAF+∠AFC=90
∴∠CAF=∠BCD
∴∠BAC/2=∠BCD
∴∠BAC=2∠BCD
2、
∵DE⊥CD
∴∠CDE=∠ACB
∵∠BCD=∠CAF,AC=CE
∴△ACO≌△CED (AAS)
∴CO=DE
∵CD=2CO
∴CD=2DE
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1、过点A作AF⊥CD交BC于F,交CD于O
∵AC=AD,AF⊥CD
∴∠CAF=∠BAF=∠BAC/2,CD=2CO (三线合一),∠AFC+∠BCD=90
∵∠ACB=90
∴∠CAF+∠AFC=90
∴∠CAF=∠BCD
∴∠BAC/2=∠BCD
∴∠BAC=2∠BCD
2、
∵DE⊥CD
∴∠CDE=∠ACB
∵∠BCD=∠CAF,AC=CE
∴△ACO≌△CED (AAS)
∴CO=DE
∵CD=2CO
∴CD=2DE
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1、∵AC=AD
∴∠ACD=∠ADC
∴∠A=180°-∠ACD-∠ADC=180°-2∠ACD
∵∠ACD+∠BCD=∠ACB=90°
∴∠ACD=90°-∠BCD
∴∠A=180°-2×(90°-∠BCD)=2∠BCD
2、∵CD⊥DE,AC=CE
∴将Rt△CDE绕C旋转到CE和AC重合,得Rt△CFA≌Rt△CDE做DH⊥FA交FA的延长线于H即∠H=90°
∴∠FCA=∠DCE,∠F=∠CDE=90° ,AF=DE
∴∠FCD=∠ACD+∠DCA=∠ACD+∠DCE=∠ACB=90°
∴FCDH是矩形
∴CF=DH,FH=CD
∵AC=AD
∴∠ACD=∠ADC
∵∠FCD=∠HDC=90°
∴∠FCA=∠HDA
∴△FCA≌△HDA(SAS)
∴AF=AH=1/2FH
∴DE=1/2FH=1/2CD
即CD=2DE
∴∠ACD=∠ADC
∴∠A=180°-∠ACD-∠ADC=180°-2∠ACD
∵∠ACD+∠BCD=∠ACB=90°
∴∠ACD=90°-∠BCD
∴∠A=180°-2×(90°-∠BCD)=2∠BCD
2、∵CD⊥DE,AC=CE
∴将Rt△CDE绕C旋转到CE和AC重合,得Rt△CFA≌Rt△CDE做DH⊥FA交FA的延长线于H即∠H=90°
∴∠FCA=∠DCE,∠F=∠CDE=90° ,AF=DE
∴∠FCD=∠ACD+∠DCA=∠ACD+∠DCE=∠ACB=90°
∴FCDH是矩形
∴CF=DH,FH=CD
∵AC=AD
∴∠ACD=∠ADC
∵∠FCD=∠HDC=90°
∴∠FCA=∠HDA
∴△FCA≌△HDA(SAS)
∴AF=AH=1/2FH
∴DE=1/2FH=1/2CD
即CD=2DE
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