Question

请教一道高中数学题!谢谢！！

y=x+2除以x²+x+1 ， x大于-2 ，求y的值域
额 可是参考答案是 (-3,(2√3-3)/1】啊

Answer 1

令x+2=t，则t>0，x=t-2
y=t/[(t-2)²+(t-2)+1]
=t/(t²-3t+3)
分子分母同除t得：y=1/(t+3/t-3)
令f(t)=t+3/t，t>0
是对勾（耐克）函数，易得：f(t)≧2√3
所以，0<y≦1/(2√3-3)
得：0<y≦(3+2√3)/3
所以，值域为（0，(3+2√3)/3】

ps：楼主给的答案肯定是错误的，因为分母x²+x+1=(x+1/2)²+3/4>0
当x=-2时，分子x+2>0
所以，y=(x+2)/(x²+x+1)是正的。
或者要么就是y=x+[2/(x²+x+1)]，第一个x不在分子上？

祝你开心！希望能帮到你，如果不懂，请追问，祝学习进步！O(∩_∩)O

追问

请问 函数y=x-3分之1 图像是在y=x分之一的基础上向右平移3个单位 对吗？

追答

是的

Answer 2

因x²+x+1>0，故当x>-2时f(x)>0
将函数y=x+2除以x²+x+1 变形：
y=(x+2)/[(x+2)²-3(x+2)+3]
1/y=[(x+2)²-3(x+2)+3]/(x+2)
1/y=(x+2)+[3/(x+2)]-3
≥2√3 -3
当且仅当x+2=3/(x+2)即x=√3 -2时，
等号成立。
所以 y≤1/(2√3 -3)=1+(2/3)√3
又因y>0
所以 y的值域是0<y≤1+(2/3)√3

Answer 3

因为 x>-2 ，所以 x+2>0 ，而 x^2+x+1=(x+1/2)^2+3/4>0 ，因此 y>0 ；
又 1/y=(x^2+x+1)/(x+2)=(x-1)+3/(x+2)=(x+2)+3/(x+2)-3>=2√3-3 ，
所以 y<=1/(2√3-3)=(2√3+3)/3 ，
所以，值域为 （0，(2√3+3)/3 ] 。（或写成｛y | 0<y<=(2√3+3)/3｝）

Answer 4

你知道对勾图像或基本不等式吗?
若知，1/y=x²+x+1/ x+2
=[(x²+4x+4)+(-3x-3)]/x+2
=x+2+(-3x-6)/（x+2）+3/x+2≥2√3-3
∴0＜y≤1/2√3-3

追问

我知道对勾函数 也知道不等式 但是有一个问题就是 最后一步反比例函数的图像 y=x-3分之1 到底是在x分之1的图像上向右平移3个单位 还是在x分之1的图像上向下平移3个单位啊？

追答

y=x-3分之1 怎么会变成平移3个单位

追问

是我 不会打分数线 造成了歧义。。。不过我现在知道了 谢谢你~

追答

是y向上平移三个单位，你把-3移到左边去

Answer 5

令t=x+2,（t>0） （换元时注意范围！）将原式改写为y=t 除以 t^2-3t+3.
分子分母同除以t 得：分母为t+3/t-3.
对于分母：利用“打勾”函数，可以得当t在（0，根号3递减，在（根号3正无穷）递增
所以分母在t=根号3,即x=根号3-2时取到最小值
所以y的最大值为1/（2*根号3-3）
所以值域（0， 1/（2*根号3-3））
其实这道题降低了难度，x>-2使得分式上下均为正数
以后遇到一次式除以二次多项式， 均可以采用这种方法
若二次多项式除以二次多项式，可以先分离整式，变成一次式除以二次多项式，再来求值域

Answer 6

浮动幅度地方