Question

【高一数学 选修1-1】

在直线L:x-y+9=0上任取一点M,过M作以F1(-3,0),F2(3,0)为焦点的椭圆，当M在什么位置时，所作椭圆长轴最短？并求此椭圆方程。

Answer 1

解答：
假设椭圆与直线有两个交点A、B，
则线段AB在椭圆内，
在线段AB上任取一点M，
则AF1+AF2=BF1+BF2=2a，
∵点M在椭圆内，则：PF1+PF2<2a，
∴ MF1+MF2<AF1+AF2=2a
∴ 要使得MF1+MF2是最小值
则直线与椭圆有一个交点时（M为此交点），
此时应该是直线上的点与椭圆两个焦点F1、F2的连线段长度之和最小。
即长轴长2a最小。
作点F1(-3，0)关于直线x-y+9=0的对称点是F1'(-9，6)，
则M是线段F1'F2与直线的交点
2a=MF1+MF2=F1'F2=√[(3+9)²+(0-6)²]=6√5
a=3√5
∵ c=3,∴ b²=36
所求椭圆方程是：x²/45+y²/36=1
直线F1'F2的斜率是k=(6-0)/(-9-3)=-1/2
∴ 方程是y=-(1/2)(x-3)
即 x+2y-3=0
与x-y+9=0联立
求出交点M（-5,4）
∴ M（-5,4），椭圆方程x²/45+y²/36=1

Answer 2

椭圆长轴就是2a=|MF1|＋|MF2|，作点F1关于直线x－y＋9=0的对称点F'(－9，6)，则此时2a最小，得：(2a)²=(|F2F'|)²=180，则b²=a²－c²=36，得：x²/45＋y²/36=1