Question

已知x²+(m-2)x+(m²+3m+5)=0的两实根的平方和的最大值是

Answer 1

方程有解所以（m-2）^2-4(m²+3m+5)>=0 得到（m+4）（3m+4）>=0
所以m<=-4或m>=-4/3
x1*x1+x2*x2=(x1+x2)^2-2x1x2=(2-m)^2-2(m²+3m+5)=-m*m-10m-6
因为m<=-4或m>=-4/3 当m=-4时，实根的平方和的最大，最大值是18

Answer 2

解；
方程有实根，判别式≥0
(m-2)²-4(m²+3m+5)≥0
3m²+16m+16≤0
(m+4)(3m+4)≤0
-4≤m≤-4/3
设两根分别为x1，x2。由韦达定理得
x1+x2=2-m
x1x2=m²+3m+5
x1²+x2²=(x1+x2)²-2x1x2
=(2-m)²-2(m²+3m+5)
=-m²-10m-6
=-(m+5)² +19
又-4≤m≤-4/3
当m=-4时，x1²+x2²有最大值(x1²+x2²)max=18。