Question

数学求值

已知x，y，z>0 ，180 >A>0，180 >B>0且下等式成立
x^2+y^2-2xycosA=y^2+z^2-2yzcosB=z^2+x^2-2zxcos(A+B)=p
求P关于x，y，z的表达式。
2p=x²+y²+z²+√3(x+y+z)(x+y-z)(y+z-x)(z+x-y)
如图

△ABC为等边三角形，将△CAM旋转至CBM'得
△CMM'为等边三角形，边长为x，△MBM'三边长为x，y，z
四边形CMBM'面积为
x²√3/4+√(x+y+z)(x+y-z)(y+z-x)(z+x-y)/4
对△AMB和△AMC部分做相应对称处理得到另外两个四边形面积为
y²√3/4+√(x+y+z)(x+y-z)(y+z-x)(z+x-y)/4
z²√3/4+√(x+y+z)(x+y-z)(y+z-x)(z+x-y)/4
三个四边形面积为△ABC面积的2倍
2p√3/4=(x²+y²+z²)√3/4+3√(x+y+z)(x+y-z)(y+z-x)(z+x-y)/4
于是有
2p=x²+y²+z²+√3(x+y+z)(x+y-z)(y+z-x)(z+x-y)

Answer 1

考察以 √p 为边的正三角形，其内一点到三个顶点的距离分别为 x、y、z ，

由余弦定理得 p=x^2+y^2-2xycosA=y^2+z^2-2yzcosB=z^2+x^2-2zxcos(A+B) ，

所以，p 用 x、y、z 表示的表达式是不存在的，因为其内的点可以是任意的，x、y、z 值不确定。

追问

x,y,z没有确定的值，但是p和x，y，z有关系
比如p=x+y-z（x+y）换句话说就是已知xyz求p

Answer 2

根据完全平方公式化简可得：
（x+y）^2-2xy(1+cosA)=(y+z)^2-2yz(1+cosB)=(z+x)^2-2zx[1+cos(A+B)]=P
因为A,B属于0度到180度的开区间。
所以 cosA, cosB,cos(A+B)都属于[-1,1]
又因为x,y,z>0
所以得如下表达式：
。。。。。。。
sorry,我只能帮你解到这了，有点多，我还要写作业。

Answer 3

见链接中的问题 http://zhidao.baidu.com/question/249102374.html?oldq=1
你这题的答案就是把连接中答案的x换成√p , a,b,c换成x,y,z

追问

看了你的答案，经过复杂的计算，可能你的过程有错误，所以你的答案不正确。我当然有更简洁的回答及正确的答案。

追答

你确定吗？答案应该没有错，注意换进去后，如果左边是p的话，最外面没有根号。

追问

我可以确定，答案不存在平方项相加p=√3(x+y+z)(x+y-z)(y+z-x)(z+x-y)是本人自主研发的方法

追答

那你应该错了，你自己检查一下，带几个特殊的进去算

追问

你好像说的对，貌似有问题
误看了一步推论，确实是
2p²=x²+y²+z²+√3(x+y+z)(x+y-z)(y+z-x)(z+x-y)

追答

嗯你的方法挺好。你用到算三角形面积的海伦公式，这其实本质上也要用余弦定理证明，所以我们的方法本质上差不多

Answer 4

三角形里有余弦公式a^2=b^2+c^2-2bccosA....

已知x，y，z>0 ，180 >A>0，180 >B>0差不多就是一个三角形

x^2+y^2-2xycosA=y^2+z^2-2yzcosB=z^2+x^2-2zxcos(A+B)=p

p=x^2=y^2=z^2最后结果是这个。

Answer 5

数学必修5正余弦定理