Question

高数积分求解！急！

,求解。

Answer 1

在计算过程中，为了使表达简便，我多次直接把关于C1的已知量直接用C1代替，可能你会看着比较头疼。有问题就追问吧。

追问

第二排第一个式子，那个 I　是∫(cosx-sinx)e^(-x) dx的替换吗，倒数第二个式子的2I是怎么写出其等式的

Answer 2

∫(sinx-cosx)e^-∫(dx) dx
＝∫(sinx-cosx)e^(-x) dx
＝∫sinxe^(-x) dx－∫cosxe^(-x) dx
＝－∫sinx de^(-x) + ∫cosx de^(-x)
＝－e^(-x) sinx +∫e^(-x) dsinx +e^(-x)cosx－∫e^(-x)dcosx
＝－e^(-x) sinx +∫e^(-x)cosxdx+e^(-x)cosx+∫e^(-x)sinxdx
＝－e^(-x) sinx － ∫cosx de^(-x)+e^(-x)cosx－∫sinx de^(-x)
＝－e^(-x) sinx －e^(-x)cosx+∫e^(-x)dcosx+e^(-x)cosx－e^(-x) sinx +∫e^(-x) dsinx
＝－2e^(-x) sinx －∫e^(-x)sinxdx+∫e^(-x)cosxdx ＝∫sinxe^(-x) dx－∫cosxe^(-x) dx(等于第二次化简的)
所以再次对上式化简得到：
2∫sinxe^(-x) dx－2∫cosxe^(-x) dx＝2∫(sinx-cosx)e^(-x) dx＝－2e^(-x) sinx
两边除以2，得∫sinxe^(-x) dx－∫cosxe^(-x) dx＝－e^(-x) sinx

追问

最后一步和第二步的式子一样啊.......结果对了，还望最后一步指教。

追答

是因为你后面所有的化简都是基于∫(sinx-cosx)e^-∫(dx) dx＝∫(sinx-cosx)e^(-x) dx式子的，所以就干脆将其看做未知数，当式子左右都有未知数时，就可将他们移到等式的一边，那另一边不就是解了吗？!
因为化简到最后，等式右边为－2e^(-x) sinx －∫e^(-x)sinxdx+∫e^(-x)cosxdx，出现了－∫e^(-x)sinxdx+∫e^(-x)cosxdx，仔细看会注意那是第二步式子的相反数，但又同时是等于第二步式子的，所以就将－∫e^(-x)sinxdx+∫e^(-x)cosxdx移到等式的左边，化简正好得到2倍的原式，再除以2，就得出结果了。
希望看得懂，不懂可以继续追问！

Answer 3

∫(sinx-cosx)e^-∫(dx) dx
=∫(sinx-cosx)e^(-x+C1)dx
=-e^C1∫(sinx-cosx)de^-x
=-e^C1(sinx-cosx)e^-x+e^C1∫e^-xd(sinx-cosx)
=-e^C1(sinx-cosx)e^-x+e^C1∫e^-x(cosx+sinx)dx
=-e^C1(sinx-cosx)e^-x-e^C1∫(sinx+cosx)de^-x
=-e^C1(sinx-cosx)e^-x-e^C1(sinx+cosx)e^-x+e^C1∫e^-xd(sinx+cosx)
=-2e^C1sinxe^-x+e^C1∫e^-x(cosx-sinx)dx
=-2e^C1sinxe^-x-e^C1∫e^-x(sinx-cosx)dx

(e^C1+1)∫e^-x(sinx-cosx)dx=-2e^C1sinxe^-x
∫e^-x(sinx-cosx)dx=-2e^C1sinxe^-x /(e^C1+1)+C2