Question

高数极限的一道题，和同学争论了下，大神看看谁对。。

求x趋向无求大时，（x³+x²+x+1）^(1/3)-x的极限。
我的做法是把（x³+x²+x+1）^(1/3)看成a，把（x³）^（1/3）看成b，上下同乘（a²+ab+b²），然后上下同除一个x²。
这样最后分子是（1+1/x+1/x²），分母是（三次根号（1+？+？+？））²+（三次根号（1+？+？））+1。其中？代替的是1/x、1/x²、1/x³之类的。
我的意思是？可以看成0所以答案是三分之一，但是同学说因为？可以看成很小的小数，又是在分母那，这点误差会导致结果不对。。。求大神指教

Answer 1

答案是1/3，x-无穷时，可以提出一个x，提出的x可以变为1/x做分母，可以设t=1/x，则t-0，
关键就是分母了，（1+t+t^2+t^3)^(1/3)-1=1/3*(t+t^2+t^3)就可以解决了

Answer 2

答案是1/3，x趋近无穷大时那点小量还用考虑吗？x越大，？的值就越小，x到无穷，？的值就是0了，虽然这么说不太严谨……

追问

是啊，同学就说答案对但是不严谨。。。。。但是x 趋向无穷时lim 1/x =0不是直接划等号的吗，所以我又觉得不会不严谨啊。。。。。

追答

他们没理解极限……如果是有穷数的话，值的确距离1/3有小误差，但是现在取的是极限，就是让误差无穷小无穷小，那答案就是1/3

追问

那就是说不会不严谨喽~
就是想知道严格意义上来说是他对还是我对。。。。。答案已经不是问题，就是这方法。。。。。。考试的话不知道严格来说会不会扣分。。。

追答

不会扣分，极限不是有那么几个运算法则？反正那个不会错，跟着那个走就不会扣分

Answer 3

你的那个a,b什么的，就是利用立方差公式进行变形是吧？。。。额，个人觉得x趋向于无穷，1/x就趋向于0，即是无穷小的，这是肯定的了。趋近于0，还是可以看成一个很小很小的数的。但是对这个无穷小求极限，那就是0.至于1/x^2之类的，是1/x的高阶无穷小，那也是不多说的哈。

Answer 4

最好自己想！

追问

想得出我还来问么。。。。。。- -

追答

最好自己想！