Question

如图，已知△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于点D

如图，已知△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于点D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于点E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连接DH与BE相交于点G。（1）求证：BF=AC（2）求证：CE=2分之1BF（3）CE与BG的大小关系如何？是证明你的结论

Answer 1

(1)证明:∵CD⊥AB,∠ABC=45º,
∴△BCD是等腰直角三角形.
∴BD=CD.
在Rt△DFB和Rt△DAC中,
∵∠DBF=90º-∠BFD,∠DCA=90º-∠EFC,且∠BFD=∠EFC,
∴∠DBF=∠DCA.
又∵∠BDF=∠CDA=90º,BD=CD,
∴Rt△DFB≌Rt△DAC.
∴BF=AC.

(2)证明:在Rt△BEA和Rt△BEC中,
∵BE平分∠ABC
∴∠ABE=∠CBE.
又∵BE=BE,∠BEA=∠BEC=90º,
∴Rt△BEA≌Rt△BEC.
CE=AE=1/2×AC.
又由(1)知,BF=AC,
∴CE=1/2×AC=1/2×BF.

3）答：BG>CE

证明：∵△BDC是等腰直角三角形，且BH=HC，
∴DH垂直平分BD，
连接GD，得BG=CG，
在Rt△GCE中，
GC>CE(斜边大于直角边)
∴BG>CE

Answer 2

△BFD和△CDA中 ∵CD⊥AB ∴∠BDC＝∠CDA＝90° ∵∠ABC＝45° ∴BD＝CD

∵BE⊥AC BE是∠ABC的角平分线 ∴△ABC是等腰三角形 ∴∠BAC＝∠BCA
∠ABE＝∠EBC ∵∠EBC＋∠BCE＝∠A＋∠ACD＝90° ∴∠ABC＝∠ACD

∴△BFD≌△CDA﹙ASA﹚ ∴﹙1﹚BF＝AC ∵CE＝AE ∴﹙2﹚CE＝½AC＝½BF

﹙3﹚连接CG,在△CGE中，DH⊥BC ∴BG＝CG ∵CG是RT△CGE的斜边，CE是直角边

∴CG＞CE ∵BG＝CG ∴BG＞CE