Question

如图,已知抛物线经过A(1,0),B(-3,0)两点,与y轴交于点C,且OB=OC

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Answer 1

解：
1)因为OB=OC 所以c（0，3）
设出y=a（x+3）（x-1） 代入c点得a=-1
所以解析式为y=-x²-2x+3
2）由解析式可求出p（-1，4）
OA=1 OC=3 又由勾股定理得BC=3√2 PC=√2
得出BC:OC=PC:OA
所以相似
3）当相似时有PH:MN=NP:BH 因为PH：BH=2
所以MN:NP=2 所以MN²:MP²=4：5
设M（x，y）则MN²=(2x-y+6)²/5
MP²=（x+1）²+（y-4）²
又因为y=-x²-2x+3
联立方程可解得M（1/3，20/9）
希望对你有帮助，不懂的地方请追问，望采纳谢谢！

追问

第三小题还有一种情况

追答

这种比例关系另一种情况就是与P重合。
另一种比例关系的话可能是我算错了，我算出来无解。

Answer 2

（1）由抛物线经过A，B得到y=a(x-1)(x+3)
再有抛物线经过（0,3）得到a=-1，所以y=-(x-1)(x+3)=-x^2-2x+3
（2）由第一问知道顶点为（-1,4）,三角形AOC三边分别为1,3,根号10.
三角形PCB三边分别为3倍根号2，根号2,2倍根号5
所以OA/CP=OC/CB=AC/PB，所以两三角形相似
（3）显然H点的坐标为（-0，1），由三角形MPN与三角形BPH相似
可推知角PBH等于角MPN，或角PBH等于角NMP，再由角PBH已知，可以算出直线PH的表达式
再和抛物线一相交的交点即为所求。貌似计算过程有点麻烦，就不算了，说个方法就ok了

Answer 3

有图 得 y=-x^2-2x+3,
相似，有图pc=根号2，bc=3倍根号2，pb=2倍根号,ao=1，oc=3，ac=根号10，所以对应边成比例