Question

为什么f'(0)=f(x)-f(0)/x-0 推出 f‘（0）=f（x）/X？ 极限limf(x)=F(X+ △x)-f(x)/ △x

为什么f'(0)=f(x)-f(0)/x-0 推出 f‘（0）=f（x）/X？ 极限limf(x)=F(X+ △x)-f(x)/ △x

Answer 1

解答：
limf(x) = [f(x+ △x) - f(x)] / △x 是导数的定义。
△x→0
它的意思是：函数在 x 处的斜率；
它的方法是：借助求极限的方法，由割线的斜率推出切线的斜率。

△x 的意思自变量的增量，是increase，无论国内国外，太多的教师、教科书，
都喜欢含含糊糊地将它说成是变化，是change，洋人教师、教授也多是如此，
他们没有错，只是不负责任，语焉不详。

这是三个原因造成的：
一是有些人不懂教学心理学、不懂教学法；
二是有些人学风不正，不愿意给学生认认真真澄清每一个概念；
三是学业不精，囫囵吞枣，人云亦云。教师也是人，很多人教了一辈子，很多
概念，他们考学生考了一辈子，其实他们自己一辈子也没有搞清，这是最可悲的。

△x = x₂- x₁，通常在 x 处，计算函数的斜率，就把 x 当成 x₁
f‘(0) = [ f(x) - f(0) ] / [ x - 0 ]，这里的 0 就是 x₁，取极限就是在原点处的斜率。
f‘(0) = [ f(x) - f(0) ] / x，这里的 x 也必须趋向于0。
而f‘(0) = f(x) / x 的写法，只对 f(0) = 0 适用，也就是只对函数f(x)经过原点才适用。