Question

求一个正交变换X=PY，化二次型f=.......(X)为标准型。已求得P，那怎么算f=........(Y)?

Answer 1

有P就有特征值
f 即平方项系数为特征值的标准形
注意特征值的顺序与P中特征向量的顺序要对应上

追问

特征值的标准型是什么？（能详细些吗？我有些迟钝）

追答

不是特征值的标准形
是 f 化为标准形, 平方项的系数是特征值

追问

特征值的顺序依照什么安排呢？

追答

什么顺序都可以, 只要特征值的顺序与P中特征向量的顺序要对应上就行

追问

那怎么判断？比如有个特征值是1，那它是y1^2 、y2^2 、或者是y1y2 的系数呢？

追答

你怎么不明白呢?!
比如特征值是1,2,3,3, 对应的特征向量是 a1,a2,a3,a4
P=(a1,a2,a3,a4)
X=PY
则 f = y1^2+2y2^2+3y3^2+3y4^2

追问

特征值是1,2,3,3，如果只是将2和3调换一下位置其他不变，也就是特征值是1,3,2,3，还可以说对应的特征向量是a1,a2,a3,a4吗？（这里的a2和a3与原来的a2,a3内容不一样）那么f=y1^2+3y2^2+2y3^2+3y4^2.就是随意指定某个特征值所得的特征向量为a1或a2.那么这个系数就为y1^2或y2^2的系数了。我知道这样的想法是错的，可是又不知道怎么理解？

追答

看看教材中关于A可对角化的充分必要条件条件是有n个线性无关的特征向量的证明过程