Question

设奇函数f(x)在(-无穷,0)上为增函数,且f(-1/2)=0，则不等式[f(x)-f(-x)]/2x＜0的解集为？

Answer 1

奇函数f(x),f(-x)=-f(x)
不等式[f(x)-f(-x)]/2x＜0变为

2f(x)/2x<0
xf(x)<0
f(x)在(-无穷,0)上为增函数,且f(-1/2)=0

xf(x)<0的解
（-1/2,0)U(0,1/2)
不等式[f(x)-f(-x)]/2x＜0的解集（-1/2,0)U(0,1/2)

Answer 2

因为是奇函数 所以f(x)+f(-x)=0 所以 f(x)=-f(-x) f(0)=0
f(-1/2)=0 所以 f(1/2)=0
[f(x)-f(-x)]/2x=f(x)/x
另F(x)=f(x)/x 则有F(-1/2)=F(1/2）=0
对F(x)求导，等于(-1/x^2)*f`(x)
因为f(x)在负无穷到零是增函数，所以在零到正无穷也是增函数，F`(x)>0
所以解集是(-1/2,正无穷）

Answer 3

因为f(x)为奇函数，将原不等式化为[2f(x)]/2x<0
有图像关系可求得解集为：（-1/2,0）和（0,1/2）