Question

如图已知点A （-2，4）和点B （1，0）都在抛物线y=mx2+2mx+n上．

（1）求m、n；
（2）向右平移上述抛物线，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，若四边形A A′B′B为菱形，求平移后抛物线的表达式；
（3）记平移后抛物线的对称轴与直线AB′的交点为点C，试在x轴上找点D，使得以点B′、C、D为顶点的三角形与△ABC相似．

Answer 1

抛物线是：y=mx²+2mx+n吧？

（1）点A （-2，4）和点B （1，0）都在抛物线y=mx²+2mx+n上
∴4m－4m＋n=4

m＋2m＋n=0 解这个方程组得 m=－4／3，n=4
抛物线是：y=－4x²／3－8x／3＋4即y=﹣4﹙x＋1﹚²／3＋16／3
(2)向右平移 ∴AA'∥x轴
∵四边形A A′B′B为菱形∴AA‘=AB=√﹙3²＋4²﹚=5

∴平移后抛物线的表达式为：y=﹣4﹙x＋1－5﹚²／3＋16／3

即y=﹣4﹙x－4﹚²／3＋16／3
对称轴：直线x=4
（3）平移后B’（6，0）
设直线AB‘的表达式：y=kx＋b
∴﹣2k＋b=4

6k＋b=0 ∴k=﹣½ ，b=3 ∴直线AB‘的表达式：y=﹣½x＋3
∴当x=4时，y=1 ∴C(4，1)
∴AC=√﹙3²＋5²﹚=√34，B'C=√﹙1²＋2²﹚=√5

在⊿ABB'中AB=5=BB’ ∴∠A=∠B‘
∴要使得以点B′、C、D为顶点的三角形与△ABC相似．只能是

1.⊿BAC ∽⊿CB'D ∴CB'∶BA=B'D∶AC 即√5∶5=B’D∶√34 ∴B‘D=√170／5
∴OD=OB’－B‘D=6－ √170／5 ∴D﹙6－ √170／5 ， 0﹚
2.⊿BAC∽⊿DB'C ∴B’D∶AB=B‘C∶AC 即B’D∶5=√5∶√34 ∴B‘D=5√170／34
∴OD=6－5√170／34 ∴D﹙6－5√170／34 ，0﹚