Question

还有一道初三圆的题目

右图，圆O1与圆O2外切于点P，AB是圆O1和圆O2的外公切线。A,B是切点。A,B与连心线O1O2的延长线相交于点C。过C作直线EF，分别交AP,PB的延长线于E,F。已知AP/AB=AC/AE
求证：1.PC平方=1/2FB乘FP
2.若AB=BC,则AP=1/3AE

Answer 1

真可怜，一个人都没有。

说真的，这个网站很好用的……

网址保留，里面有我证明时用得到的，等会自己打开看吧

http://www.jyeoo.com/Math/Ques/Detail/be492626-b5bc-49aa-b823-8aa026c88f9f

我习惯用自己画的……

首先在菁优网里找到证明AP⊥BP

再得到AC⊥EC

再证明PC=EC，同理可得PC=CF

这几个当作已知条件吧

1.

∵AP/AB=AC/AE且∠A=∠A

∴△ABP∽△AEC

∴∠ABP=∠AEC

又∵∠ABP=∠CBF

∴∠CBF=∠DEF

又∵∠F=∠F

∴△BCF∽△EPF

∴FB/EF=CF/FP

化为FB·FP=EF·CF

又∵EF=2CP，CF=CP（见上）

∴FB·FP/2=PC²

2.

连接AO₁、BO₂

∵AB为⊙O₁⊙O₂公切线

∴AO₁∥BO₂

∴△ACO₁∽△BCO₂

∴O₁O₂=O₁C/2

   AO₁=BO₂/2

∴PO₁=PO₂/2

∴PO₁=2/3O₁O₂=1/3O₁C

由上可知AC⊥EF

又∵AO₁⊥AC

∴AO₁∥EF

∴△APO₁∽△CPE

AP/AE=PO₁/CO₁=1/3

 

如有问题再来问吧