Question

如图所示，在△ABC中，AB=AC，有一个圆内切于△ABC的外接圆，且与AB、AC分别相切于P、Q，

如图所示，在△ABC中，AB=AC，有一个圆内切于△ABC的外接圆，且与AB、AC分别相切于P、Q，求证：线段PQ的中点O是△ABC的内心．

证明：设小圆圆心为O1，⊙O1与△ABC的外接圆切于D，连AO1，则AO1⊥PQ，△ABC为等腰三角形，∴AO1过△ABC的外接圆，D在AO1的延长线上，∴O为△ABC的顶角∠BAC的平分线的点，连接OB、PD、QD，由对称性可知，OD平分∠PDQ，∵∠APQ=∠PDQ，PQ∥BC，∴∠APQ=∠ABC，∠PDQ=∠ABC，∵由P、B、D、O四点共圆，∴∠PBO=∠PDO=
12

∠PDQ，∴∠PBO=
12
∠ABC．∴O为△ABC的内心．

为什么P、B、D、O四点共圆

Answer 1

想知道吗？我告诉你！
切线长定理：AD⊥PQ,即∠AOP=90°
大圆直径AD所对的圆周角∠ABD=90°
∴∠AOP=∠ABD
∴PBDO四点共圆。
明白了？