Question

已知a^2+b^2=1,a^3+b^3+1=m(a+b+1)^3.求m最小值

已知a^2+b^2=1,a^3+b^3+1=m(a+b+1)^3.求m最小值

Answer 1

a^3+b^3+1=(a+b)(a^2+b^2-ab)+1=(a+b)(1-ab)+1。。。。。。。。。。。。1
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2=1+2ab
故：ab=[(a+b)^2-1]/2
代入1式：
a^3+b^3+1=(a+b)[3-(a+b)^2]/2+1
设a+b=t (先设a=sinc b=cosc,a+b=根号2sin(c+k) -根号2<=a+b<=根号2
故：
t[3-t^2]/2+1=m(t+1)^3
-t^3+3t+2=2m(t+1)^3
2m=[-t^3+3t+2]/[(t+1)^3]
2m'={[-3t^2+3][(t+1)^3]-[3(t+1)^2(-t^3+3t+2)] }/k 其中k=(2(t+1)^3)^2 >0不影响增减性。
分子=(t+1)^2[(-3t^2+3)(t+1)-3(-t^3+3t+2)]
=q[(-3t^3-3t^2+3t+3+3t^3-9t-6)] q=(t+1)^2 不影响增减性
=q(-3t^2-6t-3)
=-3q(t+1)^2<0 很明显，f(t)=2m=[-t^3+3t+2]/[(t+1)^3]是减的。
当t>-1时，减。 t<-1时，也是减
由于tE[-根号2,-1]时减， tE[-1 , 根号2]也是减。
所以最小值只可能是f(-1) or f(根号2)
当a+b=-1时，t=-1,m=lim(-t^3+3t+2)/[2(t+1)^3]=-1/2
当a+b=根号2时，m=(2根号2-3根号2+2)/[2(根号2+1)^3]
m=(2-根号2)(根号2-1)/[2(3+2根号2)]
=12-17根号2/2