Question

如图，在平面直角坐标系xoy中，已知F1（-4，0），F2（4，0），A（0，8），直线y=t（0＜t＜8）与线段AF1

如图，在平面直角坐标系xoy中，已知F1（-4，0），F2（4，0），A（0，8），直线y=t（0＜t＜8）与线段AF1、AF2分别交于点P、Q．
（Ⅰ）当t=3时，求以F1，F2为焦点，且过PQ中点的椭圆的标准方程；
（Ⅱ）过点Q作直线QR∥AF1交F1F2于点R，记△PRF1的外接圆为圆C．
①求证：圆心C在定直线7x+4y+8=0上；
②圆C是否恒过异于点F1的一个定点？若过，求出该点的坐标；若不过，请说明理由．

Answer 1

：（Ⅰ）设椭圆的方程为x2a2+
y2b2=1(a＞b＞0)，当t=3时，PQ中点为（0，3），所以b=3
∵a2-b2=16，∴a2=25
∴椭圆的标准方程为x225+
y29=1；
（Ⅱ）①证明：直线AF1：y=2x+8；AF2：y=-2x+8；
所以可得P（t-82，t），Q（8-t2，t）
∵直线QR∥AF1交F1F2于点R，∴R（4-t，0）
设△PRF1的外接圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则
(4-t)2+(4-t)D+F=016-4D+F=0(
t-82)2+t2+
t-82D+tE+F=0​
∴D=tE=4-
74tF=4t-16​
∴圆心坐标为(-
t2，
7t8-2)
∴圆心C在定直线7x+4y+8=0上；
②由①可得圆C的方程为：x2+y2+tx+（4-74t）y+4t-16=0
整理可得（x2+y2+2y-16）+t（x-74y+4）=0
∴x2+y2+2y-16=0，且x-74y+4=0
联立此两方程解得x=413，y=3213或x=-4，y=0
∴圆C恒过异于点F1的一个定点，该点的坐标为（413，3213）．

Answer 2

第一问，较简单不解释了，焦距为8，短轴为4，求出即可
（II）1 设Q点坐标（a,b），可得到b=-2a+8; QRF2为等腰三角形，利用性质可得R坐标（2a-4,0），所以F1R中点（设为M）坐标（a-4,0），因为圆心在其垂直平分线上，故圆心C横坐标为a-4。 PF1 的斜率为2，其垂直平分线斜率为-0.5，P、Q对称，故P（-a,b），PF1 中点(设为N)坐标（-0.5a-2,0.5b），可求出PF1 垂直平分线方程y=-0.5x+0.5b-0.25a-1；当x=a-4时y=-0.75a+1+0.5b；利用之前的b=-2a+8 可得y=-2.25a+5，即圆心C（a-4，-2.25a+5），满足7x+4y+8=0恒成立。
（II）2 圆必过F1点，设其关于7x+4y+8=0的对称点为F，由于C F1=CF，所以园也同样比过F点，即求（-4,0）关于7x+4y+8=0的对称点即可。应该是（4/13，32/13）。

Answer 3

第一题简单。A F1 F2知道。把P，Q点坐标求出。用公式。第二个的第一题可以用反证。假设什么什么的。第二个你先把定直线画出。标示出圆心什么的。写出点到直线距离。垂径定理什么的。反正这些题差不多都这样。写不出。写这些有分的

Answer 4

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