Question

【急！】 已知三次函数C:y=x^3+bx^2+cx+d的图像关于点A(1,0)中心对称

1、求常数b的值
2、若曲线C与直线l:y=4x+12相切，求曲线C方程

Answer 1

1. 关于(1,0）中心对称，即有f(1-x)+f(1+x)=0
故(1-x)^3+b(1-x)^2+c(1-x)+d+(1+x)^3+b(1+x)^2+c(1+x)+d=0
化简得：2(1+3x^2+b+bx^2+c+d)=0
(3+b)x^2+b+c+d+1=0
对比系数得：b+3=0, b+c+d+1=0,
因此b=-3
d=-1-b-c=2-c

2. y=x^3-3x^2+cx+2-c
y'=3x^2-6x+c
得过(t, f(t))的切线为y=(3t^2-6t+c)(x-t)+t^3-3t^2+ct+2-c=(3t^2-6t+c)x-2t^3+3t^2+2-c
对比直线l，得：3t^2-6t+c=4, -2t^3+3t^2+2-c=12
两式相加得：-2t^3+6t^2-6t+2=16
t^3-3t^2+3t-1=8
(t-1)^3=8
t-1=2
t=3
故c=4-(3t^2-6t)=4-(27-18)=-5
因此C的方程为:y=x^3-3x^2-5x+7

Answer 2

1、函数图像关于点A（1，0）成中心对称，则函数 y=f(x) 满足 f(1-x)+f(1+x)=0 ，
即 (1-x)^3+b(1-x)^2+c(1-x)+d+(1+x)^3+b(1+x)^2+c(1+x)+d=0 恒成立，
化简得 (2b+6)x^2+2(b+c+d+1)=0 恒成立，
因此 2b+6=0 ，解得 b= -3 。
2、由（1）得 b= -3 ，2(b+c+d+1)=0 ，因此 c+d=2 ，
所以曲线 C 的方程为 y=x^3-3x^2+c(x-1)+2 ，
y '=3x^2-6x+c ，设切点为 B（a，4a+12），
则 3a^2-6a+c=4 ，a^3-3a^2+c(a-1)+2=4a+12 ，
由以上两式解得 a= -1 ，c= -5 ，
因此，曲线 C 方程为 y=x^3-3x^2-5x+7 。