Question

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1.已知函数f(x)=log以a为底（a-a的x次方）（a>1）
（1）求f(x)的定义域，值域
（2）判断f(x)的单调性（不要求证明）
（3）解不等式f(x²-2)>f（x）
2.已知函数f(x)=log（4x+t），g(x)=lg（x+2）
（1）当x∈[-1,2]时，求实数f(x)有意义，求实数t的取值范围
（2）当x∈[-1,2]时，若果f(x)>2g(x)恒成立，求实数t的取值范围
3.已知函数f(x)=x²+(log+2)x+lgb，f(-1)=-2,对于x∈R，f(x)≥2x恒成立，求f(x)的解析式？

Answer 1

1.已知函数f(x)=log‹a›(a-a^x)，（a>1）；（1）求f(x)的定义域，值域；（2）判断f(x)的单调性（不要求证明）；（3）解不等式f(x²-2)>f(x).
解：(1)由a-a^x>0得a^x<a，因为a>1，故a^x是增函数，于是得定义域为:(-∞，1)；
值域为：(-∞，1)；
(2).设f(x)=log‹a›u，u=a-a^x；f(x)是关于u的增函数；u是关于x的减函数；故f(x)是关于x的减函数，在其定义域内都单调减。
(3).log‹a›[a-a^(x²-2)]>log‹a›(a-a^x)【a>1】
因为a>1，故应该有 a-a^(x²-2)>a-a^x，即有 a^(x²-2)<a^x，a^x²/a²<a^x，a^x²<a^(x+2)；
故得x²<x+2；即有x²-x-2=(x-2)(x+1)<0，于是得解为 -1<x<2.
2.已知函数f(x)=lg（4x+t），g(x)=lg（x+2）
（1）当x∈[-1,2]时，函数f(x)有意义，求实数t的取值范围
（2）当x∈[-1,2]时，若果f(x)>2g(x)恒成立，求实数t的取值范围
解：(1).当x∈[-1,2]时，函数f(x)有意义；即当-1≦x≦2时有4x+t>0，t>-4x，故得t>4；
(2) lg(4x+t)>2lg(x+2)，即不等式4x+t>(x+2)²在-1≦x≦2时恒成立；即有t>(x+2)²-4x=x²+4在
-1≦x≦2时恒成立；由于当-1≦x≦2时4≦x²+4≦8，故应取t>8；

3.已知函数f(x)=x²+lg(x+2)+lgb，f(-1)=-2,对于x∈R，f(x)≥2x恒成立，求f(x)的解析式？

解：【题目是这样的吗？log+2是什么意思？】
f(-1)=1+lgb=-2，即有lgb=-3，故b=10^(-3)=1/1000.
于是得f(x)=x²+lg(x+2)-3.

追问

第三题打错了：已知函数f(x)=x²+(lga+2)x+lgb，f(-1)=-2,对于x∈R，f(x)≥2x恒成立，求f(x)的解析式？

追答

已知函数f(x)=x²+(lga+2)x+lgb，f(-1)=-2,对于x∈R，f(x)≥2x恒成立，求f(x)的解析式？

解：f(-1)=1-(lga+2)+lgb=-lga+lgb-1=lg(b/a)-1=-2，故lg(b/a)=-1=lg(1/10)，于是得b/a=1/10.....(1)
由x²+(lga+2)x+lgb≥2x得x²+xlga+lgb=(x+lg√a)²-(lg√a)²+lgb≥-(lg√a)²+lgb≥0
即有-(1/4)lg²a+lgb≥0............(2)
由(1)得a=10b，代入(2)式得
-(1/4)(lg10b)²+lgb=-(1/4)(1+lgb)²+lgb=-(1/4)lg²b-(1/2)lgb-1/4+lgb=-(1/4)lg²b+(1/2)lgb-1/4≥0
即有lg²b-2lgb+1=(lgb-1)²≦0，故得lgb=1，b=10，a=100，于是得：f(x)=x²+4x+1.

Answer 2

1
(1)a-a^x>0
定义域 x<1
0<a-a^x<a
值域
f(x)<1
(2)f(x)减函数
（3）f(x²-2)>f（x） x²-2<1 x<1 x²-2>x
-√3<x<√3 x<1 x>2或x<-1
解为-√3<x<-1
2
(1)f(x)有意义4x+t>0 t>-4x
-1≤x≤2 -4≤4x≤8 -8 ≤-4x≤4
∴t>4
(2)f(x)>2g(x)恒成立 4x+t>(x+2)²
t>x²+4
-1≤x≤2 0≤x²≤4 4≤ x²+4≤8
∴t>8
第三问f(x)好象有点问题

追问

第三题打错了：已知函数f(x)=x²+(lga+2)x+lgb，f(-1)=-2,对于x∈R，f(x)≥2x恒成立，求f(x)的解析式？

Answer 3

1) (0--+无穷）
2） 单增
3） 由2. x*x-2>x x=(-1,2）
1）4x+t>0 t>-4x 由x=【-1,2】，t》8