Question

数列分母怎么拆分裂项求和

比如说最简单的 1/(n*(n+1))为什么能拆分成1/n + 1/(n+1) 返过去人人都会 问题是怎么将前式的结构拆成后式的结构 有什么通法求吗？再复杂点比如说 1/((2n+1)(2n-1)) 可以拆成怎么样求详细推导过程

Answer 1

1/[(2n+1)(2n-1))]
=?/(2n+1)-?/(2n-1) 想像的
=?*(4n)/[(2n+1)(2n-1))] 上一步的想像不错
因为?*(4n)应该等于1
所以?=1/(4n)

1/[n(n+4)]
=?/n-?/(n+4)
=?*(n+4-n)/[n(n+4)]
=(4?)/[n(n+4)]
4?=1
?=1/4
1/[n(n+4)]=1/4[1/n-1/(n+4)]

追问

第二行到第三行看不懂，麻烦写详细点

追答

猜想1/[(2n+1)(2n-1)]分裂成两项后的分母应该是(2n+1)、(2n-1)，分子不知是几，就用"?"代替，统分合并后可解得?=1/(4n)

追问

为什么我通分后分子是-2？ 呢

追答

那就把小的2n-1放在前面，就可以避免负值
1/[(2n+1)(2n-1))]
=?/(2n-1)-?/(2n+1) 想像的
=?*(4n)/[(2n+1)(2n-1))] 上一步的想像不错
因为?*(4n)应该等于1
所以?=1/(4n)

追问

非常感谢，懂了，第一个问号你算错了，应该是-1／2

追答

避开负数运算

Answer 2

1/(n*(n+1))=1/n-1/(n+1)
1/(n*(n+2))=(1/2)[1/n-1/(n+2)]
1/(n*(n+3))=(1/3)[1/n-1/(n+3)]
1/((2n+1)(2n-1)) =(1/2)[1/(2n-1)-1/(2n+1)]