Question

设数列{an}的前n项和为Sn,数列{Sn}的前n项和为Tn,满足Tn=2Sn-n2,n∈N＊。求a1的值以及an的通项公式。

Answer 1

当 n=1 时，T1=S1=a1 ，所以由 a1=2a1-1 得 a1=1 。
当 n>=2 时，Sn=Tn-T(n-1)=(2Sn-n^2)-[2S(n-1)-(n-1)^2] ，
所以 Sn=2S(n-1)+2n-1 ，
设 Sn+(un+v)=2[S(n-1)+u(n-1)+v] ，解得 u=2 ，v=3 ，
也即 Sn+(2n+3)=2[S(n-1)+2(n-1)+3] ，
这说明数列 ｛Sn+(2n+3)｝是首项为 S1+5=6 ，公比为 2 的等比数列，
所以 Sn+(2n+3)=3*2^n ，
因此 Sn=3*2^n-(2n+3) ，
那么 an=Sn-S(n-1)=S(n-1)+2n-1=3*2^(n-1)-(2n+1)+(2n-1)=3*2^(n-1)-2 。

追问

设 Sn+(un+v)=2[S(n-1)+u(n-1)+v] ，解得 u=2 ，v=3 ，
？？？？？？？？？？？？

追答

也就是想从 Sn=2S(n-1)+2n-1 变成 Sn+(2n+3)=2[S(n-1)+2(n-1)+3] ，
可是不知道系数，只好采用待定系数法。
如果由Sn=2S(n-1)+2n-1 直接写成 Sn+(2n+3)=2[S(n-1)+2(n-1)+3] ，也不是不可以。

Answer 2

解：
T1=a1=2S1-1=2a1-1
a1=1
n=1时，S1=a1=1
n≥2时，Tn=2Sn-n² T(n-1)=2S(n-1)-(n-1)²
Tn-T(n-1)=Sn=2Sn-n²-2S(n-1)+(n-1)²
Sn=2S(n-1)+2n-1
Sn+2n+3=2S(n-1)+4(n-1) +6
(Sn +2n+3)/[S(n-1)+2(n-1)+3]=2，为定值。
S1+2+3=1+2+3=6
数列{Sn +2n+3}是以6为首项，2为公比的等比数列。
Sn +2n+3=6×2^(n-1)=3×2ⁿ
Sn=3×2ⁿ-2n-3
n=1时，a1=1
n≥2时，an=Sn-S(n-1)=3×2ⁿ -2n-3 -[3×2^(n-1) -2(n-1)-3]=3×2^(n-1)-2
n=1时，a1=3×1-2=1，同样满足。
数列{an}的通项公式为an=3×2^(n-1)-2。

追问

Sn+2n+3=2S(n-1)+4(n-1) +6
why？

追答

这是解此类题的基本方法。就是通过变形，寻找Sn与S(n-1)之间的规律关系。本题已经写得很清楚了，不再说，自己认真思考一下。对于不同的题目，这一步变形比较灵活，需要多做题掌握。本题很简单，不再细说了。