Question

已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1（a＞b＞0）的离心率为√6/3，右焦点为（2√2,0），斜率为1的直线L与椭圆G交与A

已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1（a＞b＞0）的离心率为√6/3，右焦点为（2√2,0），斜率为1的直线L与椭圆G交与A、B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P（-3,2）
1、求椭圆G的方程；
2、求△PAB的面积

Answer 1

（一）
由椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1（a＞b＞0）的离心率为√6/3， 即e=c/a=√6/3

又由右焦点为（2√2,0），即c=2√2

则a=√12 ，b=√(12- 8)=2
得到椭圆方程为：x^2/12+y^2/2=1

（二）
设斜率为1的直线方程为 y =x + k ，且点A(x1 , y1) B(x2 ,y2) ，直线AB的中点坐标为M（x0,y0）
有 { x1+ x2 =2x0 (1)
{ y1+ y2 =2y0 (2)
把点A和点B的坐标代入直线方程
{ y1= x1+ k （3）
{ y2= x2+ k （4）

并分别把（1），（2）代入椭圆方程中
{x1^2/12+y1^2/2=1 （5）
{x2^2/12+y2^2/2=1 （6）

由（3）减（4） 可以得到 （x1^2-x2^2/12 +(y1^2-y2^2)/4=0
即 （x1-x2）(x1+x2)/12 +(y1-y2)(y1+y2)/4=0
代入直线方程 y= x+ k
得到 （x1-x2）(x1+x2)/12 +（x1-x2）(x1+x2+2k)/4=0
把 同因子（x1-x2）约去
得到
(x1+x2)/12+(x1+x2+2k)/4=0 (7)

代入（1），（2）式
2x0/12 + (2x0+ 2k)/4=0
可以得到M的横坐标与直线斜距K的关系 k= ( -4/3)x0
设直线PM的斜率为Kpm
由M为AB的中点，三角形PAB为等腰三角形
则直线PM垂直于AB
即直线PM的斜率应为直线AB斜率的负倒数
即Kpm= -1
由P(-3,2) M(x0, yo ) 又由y0=x0+（-4/3)x0=(-1/3)x0 且 Kpm=-1
得到 （-3 +1/3 x0）/(2-x0)=-1
得到 x0= -3/2
即可以求出直线方程 y=x+2

将直线方程代入椭圆方程，即可求的交点A和B的横坐标和纵坐标

然后求出线段AB的长度 或者直接运用公式 AB=| x1- x2|√（1+k^2） 此处K为直线AB的斜率
（过程自己算）
可以求得AB=3√2
由P点和M点的坐标可以运用坐标公式PM=√(-3 -x0)^2+(2-y0)^2 =3√2/2
综上：三角形PAB的面积为 S=1/2 AB*PM=9/2

Answer 2

Sorry，I don't know