Question

如图，在一块三角形区域ABC中，∠C=90°，边AC=8，BC=6，现要在△ABC内建造一个

如图，在一块三角形区域ABC中，∠C=90°，边AC=8，BC=6，现要在△ABC内建造一个矩形水池DEFG，如图的设计方案是使DE在AB上．（1）求△ABC中AB边上的高h；（2）设DG=x，当x取何值时，水池DEFG的面积最大？（3）实际施工时，发现在AB上距B点1.85的M处有一棵大树，问：这棵大树是否位于最大矩形水池的边上？如果在，为保护大树，请设计出另外的方案，使三角形区域中欲建的最大矩形水池能避开大树．

Answer 1

1.AC=8,BC=6
∴AB=10
h:AC=BC:AB
∴h=4.8
2.AG:x=AB:BC
AG=5x/3
CG=8-5x/3
GF:GC=AB:AC
GF=4CG/5=32/5-4x/3
S=DG·GF=-4x²/3+32x/5
当x=2.4时，S有最大值
Smax=7.68
3.x=2.4时：
BE=1.8＜1.85
∴必须改方案，如图：
设DE=x
则AD=4x/3
CD=8-4x/3
S=-4x²/3+8x
x=3时，S有最大值
Smax=12，比方案一的面积更大
x=3时，BE=5＞1.85
安全地避开了大树

Answer 2

1)AB边上的高为10/8=6/h,h=4.8,(6^2+8^2=100=10^2)
2)SDG*GF最大时，需要证明矩形面积为三角形面积的一半，按1答案中的高辅助线，可以证明这一点，即DG=1/2 *H=2.4，GF=1/2*AB=5，则面积=12；
3）因为FE=2.4，BF=3，则EB=1.8，距离树很近。
同问题2，在三角形区域内最大的矩形面积为1/2三角形面积，可以取AB的中点和BC的中点连线，AB的中点和AC中点的连线，与AC和BC组成的矩形为最大，并且避开了大树。