Question

若f(x)在区间(-∞,2]上是减函数,且对任意的x∈[1,1+a],总有-4≤f(x)≤4成立，求实数a的取值范围

已知函数f（x）=x2-2ax+5，若f(x)在区间(-∞,2]上是减函数,且对任意的x∈[1,1+a],总有-4≤f(x)≤4成立，求实数a的取值范围。要过程，谢谢！

Answer 1

第一步：
由于对称轴是 x = a，且f(x)在区间(-∞,2]上是减函数，因此 a >= 2;
第二步：
x∈[1,1+a],由于a >= 2，所以堆成轴处于[1,1+a]区间之中。抛物线开口向上，可以轻易地判断出：
x∈[1,1+a]时，f（x）的最大值是 f（1）= 6-2a，最小值是顶点纵坐标5-a²。
由题设条件可得到两个不等式
6-2a <=4
5-a² >-4
（这里最大值是 f（1）和f（1 + a）里比较大的那一个，而1和对称轴的距离是a，1+a和堆成轴的距离是1，显然a>1，因此开口向上的图像，f（1）更高，即值更大）
第三步：
联立得到的三个不等式
a >= 2
6-2a <=4
5-a² >-4
即可求解出答案 2<=a<=3

Answer 2

f（x）=x2-2ax+5=（x-a）^2+5-a^2,
对称轴是x=a，因为f(x)在区间(-∞,2]上是减函数，所以a>=2。
又对任意的x∈[1,1+a],总有-4≤f(x)≤4，
f（x）在此区间上的最小值是f（a）=5-a^2>=-4,解得-3<=a<=3,又a>=2,故2<=a<=3
f（x）在此区间上的最大值是f（1）=6-2a<=4,解得a>=1
综上所述，a的取值范围是2<=a<=3

Answer 3

解