Question

已知向量a=(cosx+sinx,sinx),b=(cosx+sinx,-2sinx),且f(x)=a·b.求f(x)在x属于[0,π/2]的值域

Answer 1

f(x)=a·b=(cosx+sinx)²-2sin²x
=cos²x+sin²x+2sinxcosx-2sin²x
=1-2sin²x+2sinxcosx
=1-（1-cos2x）+sin2x
=cos2x+sin2x
=√2sin（2x+π/4）
0=<x=<π/2
0=<2x=<π
π/4 =<2x+π/4=<5π/4
sin（2x+π/4）在x属于[0,π/2]的值域为[-√2/2,1]
故f（x）=√2sin（2x+π/4）在x属于[0,π/2]的值域为[-1,√2]

追问

π/4 =<2x+π/4=<5π/4

怎样求出下一步
sin（2x+π/4）在x属于[0,π/2]的值域为[-√2/2,1]

详细解答，谢谢

追答

这个只能通过sinα 的函数图像求得， 当π/4 =<α=<5π/4时，sinα 属于[-√2/2,1]
在α=π/2时候，sinα取得最大值1
在α=5π/4，sinα取得最小值-√2/2

Answer 2

根据向量积的算法：f(x)=a·b（cosx+sinx）^2+(-2sinx)^2=1+2sinxcosx+4sinx^2=(1+2sinx)^2
设0<x1<x2<π/2,
f(x1)-f(x2)=(1+2sinx1)^2-(1+2sinx2)^2=(2+2sinx1+2sinx2)(2sinx1-2sinx2)=4(sinx1-sinx2)+4(sinx1^2-sinx2^2),由于sinx在[0,π/2]是增函数，所以由0<x1<x2<π/2，可以得到sinx1-sinx2<0且sinx1^2-sinx2^2<0,所以f(x1)-f(x2）<0,f(x)在[0,π/2]是增函数。当x=0时取得最小值1，当x=π/2时取得最大值9，即f（x）在[0,π/2]区间内的值域是[1,9]