Question

设二次函数f(x)=x^2+px+q,求证/f(1)/,/f(2)/,/f(3)/中至少有一个不小于1/2

Answer 1

f(1)=p+q+1
f(2)=2p+q+4
f(3)=3p+q+9
|f(2)|+|f(2)|+|f(1)|+|f(3)|>=|2f(2)-f(1)-f(3)|=2
如果|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|都小于1/2 那么
|f(2)|+|f(2)|+|f(1)|+|f(3)|<4*1/2=2 矛盾
所以至少有一个不小于1/2

Answer 2

假设都小于1/2,则有：
-1/2<1+p+q<1/2, 1)
-1/2<4+2p+q<1/2 2)
-1/2<9+3p+q<1/2 3)
2)-1)得：-1<3+p<1,即 -4<p<-2
3)-2)得：-1<5+p<1, 即 -6<p<-4
不存在这样的p.
因此假设不成立。
故至少有一个不小于1/2

Answer 3

用反证法，把一二三带入不等试，用线性规划的出不存在这样的区域（p，q）