Question

20.已知抛物线的顶点是坐标原点O,焦点F在X轴正半轴上,过F的直线l与抛物线交与A.B两点，且满足向量OA乘以向

量OB等于-3
1.求抛物线的方程2.在X轴负半轴上一点M（m,0)，使得角AMB是锐角，求m的取值范围3.若P在抛物线准线上运动，其纵坐标的取值范围是【-2,2】，且向量PA乘以向量PB等于16，点Q是以AB为直径的圆与准线的一个公共点，求点Q的纵坐标的取值范围。。怎么做啊、、

Answer 1

1.设抛物线方程为y^=2px,(p>0),
则l:x=ny+p/2,代入上式得
y^-2npy-p^=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则
y1+y2=2np,y1y2=-p^,
向量OA*OB=x1x2+y1y2=(ny1+p/2)(ny2+p/2)+y1y2
=(n^+1)y1y2+np(y1+y2)/2+p^/4
=(-3/4)p^=-3,
∴p^=4,p=2,抛物线方程为y^=4x.
2.向量MA=(x1-m,y1),MB=(x2-m,y2),
角AMB是锐角,
<==>MA*MB>0,
<==>(x1-m)(x2-m)+y1y2=(ny1+1-m)(ny2+1-m)+y1y2
=(n^+1)y1y2+n(1-m)(y1+y2)+(1-m)^
=-4(n^+1)+4n^(1-m)+(1-m)^
=m^-(2+4n^)m-4>0,m<0,
∴m<1+2n^-√[(1+2n^)^+4],
设t=1+2n^,则t>=1,f(t)=t-√(t^+4)=-4/[t+√(t^+4)],↑，
∴f(t)|min=f(1)=1-√5，
∴m<1-√5.
3.设P(-1，u)，u∈[-2,2],Q(-1,q),
PA*PB=(x1+1,y1-u)*(x2+1,y2-u)
=(x1+1)(x2+1)+(y1-u)(y2-u)
=(ny1+2)(ny2+2)+y1y2-u(y1+y2)+u^
=(n^+1)y1y2+(2n-u)(y1+y2)+4+u^
=-4(n^+1)+4n(2n-u)+4+u^
=4n^-4nu+u^=16,
∴2n-u=土4，
点Q是以AB为直径的圆与准线的一个公共点，
<==>向量QA*QB=0，
<==>2n-q=0,
∴q=2n=u土4∈[-6,6],为所求.

追问

为什么l:x=ny+p/2,啊

追答

l过焦点F(p/2,0).