Question

可降阶的高阶微分方程

Answer 1

依题意，有y>0, y">0, y(1)=1, y'(1)=0
P(a,y(a))处曲率K=y"/(1+y'^2)^(3/2)
法线: y=-1/y'(a)*(x-a)+y(a)
Q点：y=0, x=a+y(a)y'(a)
PQ=[(y(a)y'(a))^2+y(a)^2]^(1/2)=y(1+y'^2)^(1/2)

由K=1/PQ
得：y"=(1+y'^2)/y
令p=y',则y"=pdp/dy, 方程化为：
pdp/dy=(1+p^2)/y
d(p^2)/(1+p^2)=2dy/y
ln(1+p^2)=2lny+c1
1+p^2=cy^2
代入y(1)=1, y'(1)=0, 得：1+0=c,得：c=1

故dy/dx=p=√(y^2-1)
dy/√(y^2-1)=dx
令y = secu, √(y^2-1) =tanu ，dy = secu tanu du
代入得：secu du=dx
积分：ln|secu+tanu|=x+C1
secu+tanu=Ce^x
y+√(y^2-1)=Ce^x

代入y(1)=1,得：1+0=Ce,得：C=1/e
所以曲线为：y+√(y^2-1)=e^(x-1)

追问

答案是y+√(y^2-1)=e^正负(x-1)，能再看一下吗

追答

p^2开根号是加个±号：
故dy/dx=p=±√(y^2-1)
dy/√(y^2-1)=±dx
令y = secu, √(y^2-1) =tanu ，dy = secu tanu du
代入得：secu du=±dx
积分：ln|secu+tanu|=±x+C1
secu+tanu=Ce^±x
y+√(y^2-1)=Ce^±x

代入y(1)=1,得：1+0=Ce^±1,得：C=1/e^±1
所以曲线为：y+√(y^2-1)=e^±(x-1)