Question

急求两道积分题解释

1.计算∫（0~3）{(x^2)/[(x^2)-3x+3]^2}dx
书上的解答是：
令x-(3/2)=(√3)/2tanu (u的绝对值<π/2)

则[(x^2)-3x+3]^2=[(3/4)*(secu)^2]^2=(9/16)*(secu)^4,dx={[(√3)/2]*(secu)^2}du. 且当x=0时，u=-π/3;当x=3时，u=π/3.

于是 ∫（0~3）{(x^2)/[(x^2)-3x+3]^2}dx=∫（-π/3~π/3）{{[(3/4)*(tanu)^2]+{[(3√3)/2]*(tanu)^2}+(9/4)}*(16/9)*[(√3/2)*(cosu)^2]}du
=[8/(3√3)]*2∫（0~π/3）{{[(3/4)*(tanu)^2]+(9/4)}(cosu)^2}du

但是这一步的变换是怎么变的？
“∫（-π/3~π/3）”变成“2∫（0~π/3）”的根据是什么？还有“{[(3√3)/2]*(tanu)^2}*(cosu)^2”这一项怎么消掉的？

2.设f(x)是连续的周期函数，周期为T，证明:∫(a~a+T)f(x)dx=∫(0~T)f(x)dx

这道题的解答中，“记φ(a)=∫(a~a+T)f(x)dx,则φ'(a)=f(a+T)-f(a)=0”是怎么得到的？

根据积分上限函数得到的导数不应该是φ'(a+T)=f(a+T)么？

而根据牛顿-莱布尼茨公式得到的形似“f(a+T)-f(a)”的则应该是φ(a+T)=∫(a~a+T)f(x)dx=F（a+T）-F（a）吧？

这个“φ'(a)=f(a+T)-f(a)=0”究竟怎么得到的？

急求

Answer 1

这是我的过程

你的第一个疑问是因为他把和的积分展开成积分的和，然后偶函数与奇函数的积分性质，在对称区间内，偶函数是区间一半积分的2倍，奇函数直接为0，所以就有你的那两个疑问，也是那一项去掉的原因。

2）

φ'(a)=f(a+T)-f(a)=0，由积分的求导规则：上限代入乘以上限的导数减去下限代入乘以下限求导，就得到第一个等号，等于0是因为f(x)的周期是T所以f(a+T)=f(a)，所以差为0.

祝你学习进步，有疑问再问，希望采纳

Answer 2

“∫（-π/3~π/3）”变成“2∫（0~π/3）”的根据是什么？还有“{[(3√3)/2]*(tanu)^2}*(cosu)^2”这一项怎么消掉的？
关于原点对称的积分上下限，如果被积分函数是偶函数可以取一半的区间，然后提出一个“2”，如果是奇函数则积分=0
φ(a)=∫(a~a+T)f(x)dx,则φ'(a)=f(a+T)-f(a)=0，这个上下限都是变得，不能直接套用牛顿-莱布尼茨公式，可以在（a，a+T）之间去一个常数k，则有
∫(a~a+T)=:∫(a~k）+∫(k~a+T)=:∫(k~a+T)-∫(k~a)，变成连个变上限积分的差，然后代入牛顿-莱布尼茨公式得出导数=φ'(a)=f(a+T)-f(a)=0

追问

谢谢，第二个明白了

另外，还是不明白这个第一个中“{[(3√3)/2]*tanu}*(cosu)^2”是怎么消掉的，能详细解答下吗？我题目答案写错了，“{[(3√3)/2]*tanu}”中的“tanu”没有平方的

追答

tanu}*(cosu)^2是一个奇函数，积分相等于求曲线与x轴围成的面积，奇函数正半区间和负半区间面积刚好抵消

Answer 3

第二题
你可以把∫(a~a+T)分成∫(a~T)+∫(T~a+T)，然后求导就能得到上述结果
再者，f(x)是个周期函数，所以它在任何长度为T的区间上积分都是相等的！也就是说φ(a)是个定值！这样导数当然是0，不用计算就能立刻得到这一结果

第一题
那个变换是因为积分体是个偶函数，你看那些三角函数都是平方的形式，都是偶函数，所以可以只考虑正的一半区间

至于那一项的消掉，那是个计算问题，tan^2*cos^2=sin^2,而sin^2+cos^2=1,仔细计算一下，最后那项是可以被消掉的