Question

幂级数敛散性问题，求高手解答

求高手解答下这题 并给出说明 谢谢大家了

Answer 1

你应该知道幂级数有收敛半径的概念吧. 这个概念在复数的情形可以看得比较清楚.
对于复平面上x = c处的幂级数, 可用比较判别法证明:
若幂级数在x = d处收敛, 则在以c为圆心|c-d|为半径的圆的内部都绝对收敛.
于是幂级数的收敛域是一个以c为圆心的圆形区域(可能为单点或全平面). 其半径为收敛半径.
区域的边界上收敛性不一定, 但是在圆的内部都是绝对收敛的.

回到实数情形, x = c处幂级数的收敛域是关于c左右对称的区间(端点收敛性不确定).
本题是x = 1处的幂级数, 在x = -1处收敛, 则收敛半径 ≥ 2, 在(-1, 3)中各点绝对收敛.
因此在x = 2处绝对收敛, 选(A).

如果是问x = 3处, 由于可能是端点而不能确定. 小于-1或大于3处则由于收敛半径未知而不能确定.