Question

已知正三棱锥P-ABC的底面边长为a,过侧棱PA与底面的中心O做截面PAD,若△PAD满足PA=AD

求⑴侧面与底面所成角的余弦值
⑵正三棱锥P-ABC的侧面积

Answer 1

^2是平方，S代表面积

由于截面PAD过PA以及点O，所以联结并延长AO，与BC所得的交点就是点D

1) 由于O是正三角形ABC的中心，AD过O

    所以AD是BC边上的中线，也是BC边上的高

    则CD=BC/2=a/2，AD=√(AC^2-CD^2)=√(a^2-(a/2)^2)=√3a/2

    所以PA=AD=√3a/2，而且由于O是重心，OD=AD/3=√3a/6

    看一下侧面PBC和底面ABC所成的二面角

    已证D是BC中点，又正三棱锥P-ABC中有PB=PC，所以PD⊥BC

    而已证OD⊥BC，所以∠PDO就是所求的二面角，cos∠PDO即为所求

    联结OP，由于O是正三棱锥P-ABC底面ABC的中心

    所以OP⊥平面ABC，即PO⊥OD

    所以在Rt△POD中，∠POD=90°，所求的cos∠PDO=OD/PD

    以求得OD，只需求PD

    已证PD⊥BC，而PB=PA=√3a/2，CD=a/2

    所以PD=√(PC^2-CD^2)=√((√3a/2)^2-(a/2)^2)=√2a/2

    则cos∠PDO=OD/PD=√3a/6/(√2a/2)=√6/6

    即侧面与底面所成角的余弦值为√6/6

 

2) 正三棱锥P-ABC的侧面积为S△PAB+S△PBC+S△PCA

    由于S△PAB=S△PBC=S△PCA，所以侧面积即为3S△PBC

    上一小题已证PD⊥BC，PD=√2a/2，BC=a

    所以3S△PBC=3*PD*BC/2=3*√2a/2*a/2=3√2a^2/4