Question

如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，点D是AB的中点， （1）求证：AC⊥BC1； （2）求

如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，点D是AB的中点，
（1）求证：AC⊥BC1；
（2）求证：AC1∥平面CDB1；
（3）求三棱锥C1-CDB1的体积．

Answer 1

(1)

• 易知AC⊥BC（RT三角形）

• 易知CC1⊥AC（由线面垂直得线线垂直）

• 因BC与CC1相交于平面BCC1B1

• 即AC⊥平面BCC1B1

• BC1属于平面BCC1B1

• 所以AC⊥BC1（由线面垂直得线线垂直）

   

(2)

• 取A1B1中点D1，连接AD1、C1D1

• 易知AD1//B1D且C1D1//CD

• 因AD1、C1D1交于平面AC1D1

• 又B1D、CD交于平面CDB1

• 则平面AC1D1//平面CDB1

• 而AC1属于平面AC1D1

• 则AC1//平面CDB1（由面面平行得线面平行）

 

(3)

• 三棱锥C1-CDB1的体积与三棱锥D-CB1C1等体积

• 过D作DF⊥BC交于F，易知DF⊥平面CB1C1

• 于是DF为底面CB1C1的高

• 由中位线性质易知DF=AC/2=3/2

• S[三角形CB1C1]=S[正方形BCC1B1]/2=8

• 则V[三棱锥D-CB1C1]=1/3*S[三角形CB1C1]*DF=4