Question

如图AB是圆o的直径,AC为弦,D是弧BC的中点,过点D作EF⊥AC,交AC的延长线于E,交AB的

如图，AB是⊙O的直径，AC为弦，D是弧BC的中点，过点D作EF⊥AC，交AC的延长线于E，交AB的延长线于F
若AE：AF=1：3，AE=4，求圆O的半径和AC的长

Answer 1

（1）证明：连接OD，
∵D是
BC
的中点，
∴∠BOD=∠A，
∴OD∥AC，
∵EF⊥AC，
∴∠E=90°，
∴∠ODF=90°，
即EF是⊙O的切线；

（2）解：在△AEF中，∵∠E=90°，sin∠F=
13
，AE=4，
∴AF=
AEsin∠F
=12．
设⊙O的半径为R，则OD=OA=OB=R，AB=2R．
在△ODF中，∵∠ODF=90°，sin∠F=
13
，
∴OF=3OD=3R．
∵OF+OA=AF，
∴3R+R=12，∴R=3．
连接BC，则∠ACB=90°．
∵∠E=90°，
∴BC∥EF，
∴AC：AE=AB：AF，
∴AC：4=2R：4R，
∴AC=2．
故⊙O的半径为3，AC的长为2．
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追问

为什么AB：AF=2R：4R

追答

△ABC∽AFE这是比例1：2

追问

就是问为什么相似比为1：2

追答

角△ODF中，由sin∠F=
13，得出OF=3OD，设

追问

没有给这个条件啊

追答

D是弧BC的中点，若AE：AF=1：3，说明sinF=1/3 三角函数

Answer 2