Question

求助一个线性代数选择题

请问那个选项是对的，为什么？

Answer 1

这题主要是矩阵的几种等价关系.
(A)是相抵, 即可通过行列初等变换相互转化, 两个同型矩阵相抵等价于秩相等.
这里A,B都是n阶方阵, 可逆故秩均为n, 结论成立.
(B)是相似, 相似变换为A→P^(-1)AP, P为可逆矩阵.
等价条件要用Jordan标准型理论, 必要条件有很多, 比如特征值, 特征多项式都要相等.
这里由A,B为对称阵, (AB)' = BA, 即AB和BA互为转置.
转置矩阵总是相似的(我不记得怎样不用Jordan标准型证了), 结论成立.
(C)是实对称阵的合同, 合同变换为A→P'AP, P为可逆实矩阵.
充要条件是秩相等且惯性指数相等. 特别的, 两个n阶正定阵是合同的.
A是实对称阵, 故A²半正定, 又A可逆, 故A²正定. 同理B²正定. 二者合同, 结论成立.
(D)是正交相似, 一般来说比相似的限制还强. 但是A, B甚至未必是相似的, 结论不成立.
多说一点, 实对称阵都正交相似于实对角阵, 可知它们相似等价于正交相似.
综上, (D)是唯一不正确的命题.

追问

A,B秩为什么相等啊？

追答

因为条件说n阶可逆, 可逆方阵即满秩方阵, 所以秩是n.